1.1.1. Криволинейный интеграл первого рода (по длине дуги)

Остановимся на двух разновидностях интеграла: криволинейных интегралах первого и второго рода. Пусть К – некоторая гладкая или кусочно-гладкая плоская кривая x = x(t),  y = y(t)  (t), где tпараметр, а   – дифференциал дуги.

Если , то dt < 0 и ; если   то  и

Если f(x, y) – непрерывная функция на К, то под её криволинейным интегралом первого рода (подлинные дуги), взятым по кривой К, понимается интеграл:

.                                   (1.1)

Если кривая К задана уравнением  y = y(x)  то, принимая  х  за параметр, получим:

.                                          (1.2)

Допустим, что К – материальная, т.е. имеет массу и пусть на кривой непрерывным образом распределена масса с плотностью f(x,y). Если эта плотность известна, то массу М можно найти тем же методом, который применяли при изучении определенного интеграла при нахождении площади.


Именно: разбиваем кривую на n малых дуг l1, l2, … ln, на каждой из которых берем по точке . Тогда масса дуги , а для всей массы М получается приближенное выражение:

.                                                              (1.3)

Сумму (1.3) называют интегральной для функции f(x,y).

Точное значение массы есть предел интегральной суммы, когда наибольшая из дуг lk стремится к нулю. Такого рода предел и называется криволинейным интегралом первого рода. Таким образом,

                                          (1.4)

если последний существует. Если кривая К – пространственная, а функция есть f(x, y, z), то имеем криволинейный интеграл по пространственно кривой, который обозначается:

.                                         (1.5)

Отметим, что величина интеграла не зависит от направления кривой К, т.е.

.                                                                (1.6)

Так, длина lk дуги Мк-1 Мк не зависит от того, какая из точек, Мк-1 и  Мк,  принята за начало и какая за конец дуги.

Имеет место также свойство аддитивности.