Пусть a(x) и b(x) – б.м. функции при x ® a (x® + ¥, x ® –¥, x ® x₀, …). Рассмотрим предел их отношения при x ® a.

1. Если  = b и b – конечное число, b ¹ 0, то функции a(x), b(x) называются бесконечно малыми одного порядка малости при x ® a.

2. Если  = 0, то a(x) называют бесконечно малой высшего порядка, чем b(x) при x ® a. Очевидно, в этом случае  = ¥.

3. Если a(x) – б.м. высшего порядка, чем b(x), и  = b ¹ 0 (b – конечное число, k Î N), то a(x) называют бесконечно малой k-го порядка, по сравнению с b(x) при x ® a.

4. Если не существует   (ни конечный, ни бесконечный), то a(x), b(x) называют несравнимыми б.м. при x ® a.

5. Если   = 1, то a(x), b(x) называются эквивалентными б.м. при x  ® a, что обозначается так: a(x) ~ b(x) при x ® a.

Пример 1. a(x) = (1 – x)³, b (x) = 1 – x³.

Очевидно, что при x ® 1 функции a(x), b(x) являются б.м. Для их сравнения найдем предел их отношения при x ® 1:

=

Вывод: a(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с b(x) при x ® 1.

Нетрудно убедиться, что  =  (убедитесь!), откуда следует, что a(x) – б.м.   3-го порядка малости, по сравнению с b(x) при x ® 1.

Пример 2. Функции a₁(x) = 4x, a₂ (x) = x², a₃(x) = sinx, a₄(x) = tgx являются бесконечно малыми при x ® 0. Сравним их:

 = 0,  ,   = 1,   = ¥.

Отсюда заключаем, что  a₂(x) = x² – б.м. высшего порядка, по сравнению с a₁(x) и a₃(x) (при x ® 0), a₁(x) и a₃(x) – б.м. одного порядка, a₃(x) и a₄(x) – эквивалентные б.м., т.е. sinx ~ tgx при x ® 0.

Теорема 1. Пусть a(x) ~ a₁(x), b(x) ~ b₁(x) при x ® a. Если существует , то существует и , и  = .

Доказательство.  = 1,  = 1,

 =  = .

Эта теорема позволяет упрощать нахождение пределов.

Пример 3. Найти .

В силу первого замечательного предела sin4x ~ 4x, tg3x ~ 3x при x ® 0, поэтому

 = =.

Теорема 2. Бесконечно малые функции a(x) и b(x) эквивалентны (при x ® a) тогда и только тогда, когда a(x) – b(x) является б.м. высшего порядка, по сравнению с a(x) и b(x) (при x ® a).

Доказательство

Пусть a(x) ~ b(x) при x ® a. Тогда = = 0, т.е. разность a(x) – b(x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с a(x) при при x ® a (аналогично с b(x)).

Пусть a(x) – b(x) – б.м. высшего порядка, по сравнению с a(x) и b(x), покажем, что a(x) ~ b(x) при x ® a:

 =  = + = 1,

 т.е. a(x) ~ b(x) при x ® a.

Теорема 3. Сумма конечного числа бесконечно малых различных порядков эквивалентна слагаемому низшего порядка.

Доказательство. Пусть a(x) – б.м. низшего порядка по сравнению с b(x) и g(x) при  x ® a, т.е.  = 0 и  = 0.

Покажем, что a(x) ~ (a(x) + b(x) + g(x)) при x ® a:

 =  +  +  = 1 + 0 + 0 = 1.

Доказанные теоремы применяются для нахождения пределов.

Пример 4. Найти .

По теореме 3 при x ® 0:  4x + 2x³ ~ 4x , sin²x + 3tg5x + x³ ~ 3tg5x, тогда

 =  =  = .