1.3.2. Поверхностный интеграл второго рода (по координатам)

Рассмотрим поверхность S, которая задана функций , предполагаем, что любая прямая, параллельная оси Оz, пересекает её не более чем в одной точке (рис. 1.30). Считаем, что выбрана верхняя сторона.

Предположим, что функция  есть непрерывная на S. Разобьем её на n частей: .

На части (I = 1,…,n) возьмем точку  и соответствующее значение умножим на площадь проекции на xОy: . Составим сумму  – она называется интегральной.

Определение:  называется поверхностным интегралом второго рода от функции Z(x, y, z) по выбранной стороне по координатам x и y и обозначается:

Итак,

   (1.80)

Аналогичным образом определяются поверхностные интегралы:

 и ,

то есть

;                               (1.81)

.                                (1.82)

Вводят обобщенный (комбинированный) поверхностный интеграл по координатам:

                      (1.83)

Исходя из определения, отметим важное свойство, присущее этим интегралам: при перемене стороны поверхности интеграл изменяет только свой знак.

Методическое руководство: при вычислении поверхностных интегралов второго рода следует руководствоваться правилом, которое следует из определения: если S является куском цилиндрической поверхности, образующая которой параллельна одной из координатных осей, то соответствующий поверхностный интеграл равен нулю.


Например:

· если оси Оz, то ;

· если оси Ох, то ;

· если оси Оy, то ,

так как при этом соответствующая площадь проекции .

Сформулируем правило вычисления поверхностного интеграла второго рода для одного из них (доказательство аналогично вычислению криволинейного интеграла второго рода).

Вычисление поверхностных интегралов второго рода неизменно сводится к вычислению обычных двойных интегралов. Пусть, например, поверхность S задана уравнением  с выбранной ориентацией в сторону роста z, тогда

.                                  (1.84)

Пример

Вычислить , где Sверхняя сторона части плоскости x + z = 5, отсеченной плоскостями y = 0,  y = 4 и лежащей в 1 октанте (рис. 1.31).

Решение. Согласно (1.83):

.

Согласно методическому руководству, наша поверхность (плоскость) имеет ось Оy, параллельную образующей, поэтому .

Вычислим:

Итак, J = 50 + 50 = 100.