Рассмотрим квадратную матрицу порядка n . Определителем или детерминантом n -го порядка матрицы А называется число

,

где сумма вычисляется по всем перестановкам вторых индексов.

Обозначения определителя:, det A , или в полной записи:

.

Таким образом, по определению

(1.3)

В соответствии с доказанным утверждением 1.1, в правой части формулы (1.3) n ! слагаемых, причем n ! / 2 слагаемых со знаком «+» и n !/2 со знаком «- », так как если- четная перестановка, то , а если - нечетная, то . При этом каждое из слагаемых является произведением n чисел, которые расположены в разных строках и разных столбцах матрицы.Используя определение определителя порядка n , получим формулы для вычисления определителей 2-го и 3-го порядка.При n = 2 перестановок вторых индексов будет 2! = 2, одна четная — (12) и одна нечетная (21), следовательно:

(1.4)

При n = 3 перестановок вторых индексов — 3! = 6. Четные: (123) (0 инверсий), (231) (2 инверсии), (312) (2 инверсии). Нечетные: (321) (3 инверсии), (132) (1 инверсия). (213) (1 инверсия). Следовательно:

(1.5)

Для запоминания знаков слагаемых и сомножителей в каждом слагаемом полезно запомнить следующее мнемоническое правило. Правило Крамера (треугольников)

Слагаемые со знаком «+»: Слагаемые со знаком «- »:

Вычисление определителей более высокого порядка непосредственно по определению затруднительно, так как уже при вычислении определителя 4-го порядка слагаемых в формуле (1.3) будет 4! = 24. Поэтому определители порядка выше 3-го вычисляются с использованием свойств определителей.

Минором Mij элемента aij матрицы А называется определитель матрицы, полученной из матрицы А вычеркиванием i -й строки и j -гo столбца (т.е. строки и столбца, на пересечении которых находится этот элемент).Например:

если и т. д.

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij матрицы А называется число, равное Таким образом, по определению:

Утверждение 1.3 (О разложении определителя по строке) Определитель равен сумме попарных произведений элементов какой-либо строки на их алгебраические дополнения, т.е.

(1.6)

Свойства определителей

1°. Определитель матрицы А равен определителю транспонированной матрицы A T, т. е.

det A = det A T.

2°. Если хотя бы одна строка матрицы А состоит из нулей, то определитель этой матрицы равен нулю.3°. При перестановке (транспозиции) любых двух строк в матрице, у определителя этой матрицы изменится знак.4°. Определитель матрицы, содержащей две одинаковые строки, равен нулю.5°. Если все элементы некоторой строки матрицы умножить на действительное число л 0, то определитель этой матрицы умножится на л .6°. Пусть матрицы А , В , С отличаются друг от друга только k -й строкой, причем элементы k -й строки матрицы С равны сумме соответствующих элементов k -х строк матриц А и В т.е.

тогда

7°. Определитель матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на число л .8°. (Теорема аннулирования). Сумма произведений элементов, какой либо строки на алгебраические дополнения соответствующих элементов другой строки равна нулю, т.е.

(1.7)

Доказательство свойств определителей

Свойство 1°. По определению, если то тогда по формуле (1.3)

(1.8)

где — произвольная перестановка первых индексов. Число слагаемых в этом равенстве и равенстве (1.3) одинаково и равно n ! (утверждение 1.1). Покажем, что они имеют одинаковые знаки. Переставим элементы в правой части равенства (1.8) так, чтобы первые индексы составили основную перестановку (1, 2, …, n ). Пусть для этого потребовалось s транспозиций. При этом вторые индексы за те же s транспозиций из основной перестановки преобразуются в перестановку . Так как по утверждению 1.2 каждая транспозиция меняет знак, перестановки и будут одинаковой четности, следовательно слагаемые в формулах (1.3) и (1.8) имеют одинаковые знаки, т.е. det A = det.

Свойство 2°. Так как в каждом слагаемом в формуле (1.3) есть множитель из каждой строки, то все слагаемые равны 0 и det A тоже равен 0. Свойство 3°. Пусть мы поменяли местами строки с номерами k и p , тогда в формуле (1.3) перестановки из вторых индексов (…, j k , …, j p , …) преобразуются в (…, j p , …, j k , …), т.е. получаются в результате транспозиции двух чисел. При этом, в соответствии с утверждением 1.2, четность каждой перестановки меняется, следовательно, меняется знак каждого слагаемого в формуле (1.3), значит, у определителя тоже меняется знак. Свойство 4°. Пусть k -я и р -я строки матрицы А одинаковы и det A = а . Поменяем местами k -ю и р -ю строки этой матрицы. При этом матрица А не изменится, а определитель по свойству 3° изменит знак, т.е. det A = — а . Получили равенство а = — а , которое возможно лишь в том случае, когда а = 0, следовательно det A = 0. Свойства 5°, 6°. Справедливость этих свойств следует из свойств конечных сумм:

Свойство 7°. Применяя к определителю матрицы

последовательно свойства 6°, 5°, 4°, получаем: det B = det A .

Свойство 8°. Рассмотрим матрицу А , у которой k -я и р -я строки одинаковы. По свойству 4° det A = 0, а по формуле (1.3) но,значит,следовательно,

Из свойства 1° следует, что все перечисленные свойства справедливы и для столбцов матрицы. В частности, справедливы формулы, аналогичные (1.6) и (1.7)

(1.9)

(1.10)