1.4.4. Циркуляция векторного поля. Вихрь (ротор) вектора. Формула Стокса

Возьмем поле  и некоторую кривую AB (рис. 1.41). Пусть  — радиус-вектор точки M на кривой.

Определение 1: криволинейный интеграл, взятый по некоторой направленной линии AB , называется линейным интегралом от вектора вдоль линии AB.

Определение 2: Циркуляцией векторного поля  вдоль замкнутой кривой K, называется линейный интеграл по этой замкнутой кривой K, обозначаемый через Г и определяемый формулой:

.          (1.106)

Если  – силовое поле, то линейный интеграл от вектора равен работе сил поля при перемещении точки по кривой AB. В этом состоит физический смысл линейного интеграла (ранее мы называли криволинейным интегралом по координатам).

Определим еще одну важную характеристику теории поля, которую называют вихрем (ротором) векторного поля.

Возьмем в поле вектора точку  (рис. 1.42). Пусть - достаточно малая поверхность, содержащая точку , К – контур этой поверхности, - нормаль к . Обход согласован с и является положительным, Вычислим циркуляцию .

Предположим, что существует

,                          (1.107)

где       . Такой вектор обозначается  и называется вихрем (ротором) векторного поля .

Говорят, что векторное поле  порождает другое векторное поле – поле  и является векторной характеристикой векторного поля.


Вектор  в данной точке поля  обладает свойством: если нормаль  к  совподает с направлением , то циркуляция  имеет наибольшее значение, по сравнению с циркуляцией, при любом другом положении площадки .

Понятие вихря введено независимо от выбора системы координат, т.е. служит инвариантной формулой (1.107).

Для удобства запоминания вихрь вектора  записывают в декартовой системе в виде символического определения:

.                                                          (1.108)

Раскрывая определитель по первой строке, будем иметь:

.                          (1.109)

Из (1.109) видно, что  есть вектор. Если рассматривать векторное поле как поле скоростей частиц текущей жидкости, то ротор характеризует угловую скорость вращения малого объёма, окружающего точку. Поэтому  характеризует вращательную способность поля .

Пример 1

Найти , если  .

Решение. В нашем случае тогда

Пример 2

Найти , если .

Решение

.

Пример 3

Найти , где  – линейные скорости точек вращающегося тела вокруг неподвижной точки с постоянной угловой скоростью ; .

Решение. Вектор  в координатной форме учитывая, что запишем так:

.

Согласно (1.109):

.