1.4.5. Теорема Стокса

Теорема Стокса является одной из важных теорем векторного анализа. Она устанавливает связь между циркуляцией поля по любому контуру L и потоком вихря поля через любую поверхность, натянутую на контур L.

Теорема. Циркуляция поля по контуру L равна потоку вихря поля через любую поверхность S, лежащую в векторном поле и имеющую своей границей контур L:

                                                   (1.110)

При этом предполагается, что на поверхности S все частные производные первого порядка от функции  – непрерывны. Нормаль выбрана к поверхности S так, что бы циркуляция рассматривалась в положительном направлении.

Доказательство. Пусть на контур L натянута гладкая произвольная поверхность (рис. 1.43).Её уравнение обозначим функцией . Разобьем поверхность S на n элементарных площадок (k = 1, 2, ….n) ограниченных замкнутыми линиями . В каждой из них возьмём точкуи определим проекции вихря в на направление :

.

По определению предела переменной известно, что

,

где S – площадь поверхности S.

Умножив наи просуммировав, получим:

.

В правой части последнего неравенства , сократив эту часть на S, получим . В сумме  интегралы по всем линиям, лежащим в области, ограниченной контуром L, попарно уничтожаются, так как интегрирование по ним происходит в двух взаимно противоположенных направлениях (рис. 1.4).

Поэтому

.

Учитывая это, получим:

.

Отсюда, следуя определению предела переменной, имеем: Однако предел левой части – предел интегральной суммы для поверхностного интеграла второго рода, поэтому

.

Замечание 1. Дивергенция и вихрь векторного поля являются локальными характеристиками поля, в то время как теоремы Остроградского и Стокса являются интегральными характеристиками векторного поля.

Пример

Вычислить циркуляцию поля вектора  по линии пересечения поверхности  с координатными плоскостями в положительном направлении (непосредственно и при помощи теоремы Стокса).

Решение. Непосредственное вычисление заключается в том, что применяют формулу (1.106). Обычно используют метод «сечений» построения поверхности (рис. 1.44), полагая последовательно x = 0,  y = 0,  z  =0.

На рис. 1.44 указанно направление положительного обхода контура ABCA. Согласно (1.106) и свойству аддитивности имеем:

.

Вычислим каждый интеграл в отдельности и сложим все полученные результаты, получим циркуляцию Г по замкнутому контуру. Итак,

.

.

Следовательно,  – это говорит о том, что контур вращается в направлении, противоположенном выбранному.

Найдем Г по теореме Стокса, а именно, используя формулу (1.110). Вычислим вихрь поля:

В качестве поверхности S в формуле (1.110) возьмём боковую поверхность пирамиды, опирающуюся на контур ABCA.

Тогда , на грани OAC вектор , поэтому   и ;  на грани OAB вектор , поэтому

.

На грани OCB вектор , поэтому  и .

В итоге получим: .

Задачи для упражнений

1) Найти от  по направлению от точки М0(1; 1; 1) к точке (2; 2; 2)

                                                                                                     Ответ:  .

2) Найти от в точке М0(1; 1; 1) по направлению вектора , образующего с координатными осями Ox и Oy соответственно углы , а с Oz угол .                                                                                                  Ответ: .

3) Найти , если  в точке .

                                                                                                       Ответ: .

4) Найти: .                                                  Ответ: .

5) Найти: .                                                Ответ: .

1) Найти градиент скалярного поля  в точке .


                                                                                                      Ответ: .

7) Вычислить с помощью градиента производную поля в точке (2; 3; 6) по направлению радиуса-вектора  этой точки.        Ответ: .

8) Найти векторные линии поля  .                         Ответ: .

9) Найти: векторные линии поля .   Ответ: .

10) Найти: векторные линии поля .           Ответ: .

11) Найти поток поля  через поверхность прямого конуса радиуса R и высоты H, вершина которого находится в начале координат.

                                                                                                      Ответ: .

12) Найти поток поля вектора  через часть плоскости , лежащую в первом октанте.                 Ответ: .

13) Найти поток векторного поля  через поверхность пирамиды с вершиной в точке  и основанием OAB, где : а) непосредственно; б) по теореме Остроградского.

                                                                                            Ответ: П = 0.

14) Найти поток поля вектора  через поверхность пирамиды, ограниченной плоскостями   непосредственно и по теореме Остроградского.                                        Ответ:

15) Вычислить поток по теореме Остроградского, если поле  через полную поверхность цилиндра: .

                                                                                            Ответ: .

16) Найти , где .                        Ответ: .

17) Найти , если  в точке .

                                                                                            Ответ: 6.

18) Найти , если .                                        Ответ: .

19) Найти поток поля , образованный плоскостями х = 0,   y= 0; z = 0 через замкнутую поверхность, параболоида , лежащую в первом октане. Воспользоваться цилиндрическими координатами.              Ответ: .

20) Вычислить циркуляцию поля вектора  по контуру окружности .                                                                        Ответ: .

21) Найти работу векторного поля  по контуру ABCA, получаемому при пересечении поверхности  с координатными плоскостями.

                                                                                             Ответ: .

22) По теореме Стокса найти циркуляцию поля  по контуру L, состоящему из координатных осей и дуги окружности , соответствующей параметру  .                                                                                                                    Ответ: .

23) Найти циркуляцию непосредственно и по теореме Стокса векторного поля  по линии пересечения координатных плоскостей с поверхностью .    Ответ: .

24) Будут ли векторные поля соленоидальными

а). ,

б). ,             Ответ: а) нет; б) да.