1.4.6. Потенциальные поля

В теории поля и ее приложениях рассматриваются так называемые потенциальные поля.

Определение. Поле вектора называется потенциальным, если вектор  является градиентом некоторой скалярной функции :

.                                  (1.111)

(поле в этом случаи называют также безвихревым или градиентным).

Функция  называется потенциальной функцией поля. Часто говорят, что скалярная функция  называется скалярным потенциалом поля.

Замечание. В литературе дается определение потенциального поля и так, что . Знак «минус» перед  берётся для удобства. Это не имеет принципиального значения. При изучении понятия потенциального векторного поля надо уточнять, каким образом вводится понятие потенциального поля. В частности, для электрического поля:

Знак «минус» перед  имеет здесь физический смысл, он означает, что в направлении вектора напряженности  электрический потенциал убывает (рис. 1.45).

Если  – потенциальная функция вектора , то , где , тоже будет потенциальной, так как .

Поле не всякого вектора является потенциальным. Возникает задача: по какому признаку установить, будет ли поле  потенциальным? Следующая теорема дает утвердительный ответ и, что важно, приводит к методу нахождения этой функции.

Теорема: Для того чтобы поле  было потенциальным, необходимо и достаточно, чтобы вихрь этого поля равнялся нулю:

.

Доказательство. Необходимость. Дано, что  — потенциальное поле. Тогда, согласно определению (1.111), , т.е.

.

Отсюда заключаем, что

.

Найдем вихрь поля:

Что и требовалось доказать.

Достаточность. Дано, что , т.е.

Отсюда

                            (1.112)

Это есть условие полного дифференциала функции  [6], т.е.

                                                (1.113)

Следовательно, искомая функция (потенциальная) может быть найдена так:

          (1.114)

Полный дифференциал функции :

, т.е.

,

Отсюда поле вектора  — потенциально.

Замечание 1. Потенциальное поле обладает рядом особенностей:

а) Потенциальное поле характеризуется лишь одной скалярной функцией , в то время как любое векторное поле  определяется тройкой скалярных функций .

б) Циркуляция в потенциальном поле по любому контуру равна нулю.


Это следует из теоремы Стокса:

, так как .

в) В потенциальном поле криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования (доказано при рассмотрении условия независимости криволинейного интеграла от формы пути интегрирования).

Методическое руководство

При нахождении потенциальной функции в качестве начальной точки  берут начало координат, если эта точка принадлежит области, в которой ищется потенциальная функция – это упрощает вычисления; согласно замечанию криволинейный интеграл не зависит от формы пути интегрирования, поэтому удобно брать путь – ломаную (см. рис. 1.46), тогда:

                   (1.115)

Если найти , то должны получить вектор . Это Можно считать проверкой.

Итог: Криволинейный интеграл потенциального поля на пути равен разности потенциальной функции в конечной и начальной точках этого пути:

,                  (1.116)

другими словами, для  потенциального поля  имеет место формула Ньютона-Лейбница. Она позволит по известной потенциальной функции найти криволинейный интеграл второго рода (роль первообразной здесь играет потенциальная функция  поля ).

Пример

Проверить, будет ли поле вектора   потенциальным? В случаи его потенциальности найти потенциальную функцию.

Решение. Найдем вихрь этого поля:

Согласно признаку потенциальности поле – потенциальное. Следовательно, существует потенциальная функция, которую найдем, используя формулу (1.115):

,

то есть

.

В общем случае, если  — произвольная точка, то

.

Проверка:

.

Задачи для упражнений

1) Найти потенциал поля .

                                                                                   Ответ:  .

2) Будет ли поле вектора  потенциальным? В случае потенциальности найти u(х, y, z)

                                                                                   Ответ: .

3) Условия прежние:

а)                  Ответ: 

б)               Ответ: