1.6.3. Достаточные условия дифференцируемости

Теорема 1.4. Если функция z = f(M) имеет частные производные в некоторой -окрестности точки М и эти производные непрерывны в самой точке М, то функция дифференцируема в точке М.

Доказательство. Придадим переменным х и у столь малые приращения , чтобы точка  не выходила за пределы указанной -окрестности точки М. Полное функции Dz = f(х + Dх, у + Dу) – f(х, у) можно записать в виде

.

Выражение  можно рассматривать как приращение функции  одной переменной x (второй аргумент имеет постоянное значение, равное ). Так как согласно условию эта функция имеет производную , то по теореме Лагранжа получаем

.

Рассуждая аналогично, для выражения  имеем

.

Производные  и  непрерывны в точке М(х; у), поэтому

Отсюда следует, что

где  – бесконечно малые при  функции. Подставляя полученные выражения в формулу для , находим

Dz = Dх + Dу + ,

а это и означает, что функция z = f(M) дифференцируема в точке М.

Следствие. Из непрерывности частных производных следует непрерывность самой функции.

Теорема 1.4 имеет важное значение для установления дифференцируемости функций, поскольку непосредственная проверка дифференцируемости функции с помощью определения часто затруднительна, в то время как проверка непрерывности производных оказывается проще.

В заключение заметим, что понятие дифференцируемости функции трех и более переменных вводится аналогично функции двух переменных.

Определение. Полным дифференциалом dz функции  z = f(x, y) называется главная часть полного приращения Dz, линейная относительно приращений аргументов, т.е.

dz = df(x, y) = АDх + ВDу.

Дифференциалы независимых переменных совпадают с их приращениями, т.е.   dx = Dх,  dy = Dу.

Поэтому полный дифференциал функции z = f(х, у) вычисляется по формуле:

Полный дифференциал функции трех аргументов u = f(x, y, z) вычисляется по формуле:

При достаточно малом r =  для дифференцируемой функции справедливо приближенное равенство Dz » dz. Учитывая, что полное приращение

Dz = f(x0 +Dх, у0 + Dу) – f(x0, у0),

получим приближенное равенство:

f(x0 +Dх,  у0 + Dу) » f(x0, у0) + df(x0, у0),

которое будет тем точнее, чем меньше |Dх| и |Dу|. Этой формулой можно пользоваться для приближенных вычислений значений функции двух переменных в точке , если известны значения этой функции и ее частные производные в точке М0(х0, y0).

Пример 1.13.  Вычислить приближенно .

Решение. Рассмотрим функцию z = f(x, y) = . Значение этой функции в точке М0(6, 8) известно и равно  f(6, 8) =  = 10.

Вычислим приближенно значение  f(6,03; 8,04), имеем

f(x0 + Dх,  у0 + Dу) » f(x0, у0) + df(x0, у0),

где       x0 = 6,  у0 = 8,  Dх = 0,03;  Dу = 0,04;  М0(6, 8).

;

 

тогда

Пример 1.14.  Вычислить приближенно arctg

Решение. Рассмотрим функцию  z = arctg Значение функции в точке М0(х0, y0), где х0 = 1, , y0 = 1, известно и равно  arctg

Воспользуемся формулой:

f(x0 + Dх, у0 + Dу) » f(x0, y0) + dz ,

  при 

Следовательно, 

Пример 1.15.    Найти du.

Решение.            

здесь              

Полный дифференциал применяется также в приближенных вычислениях при оценке погрешностей. Пусть задана функция z = f(х, у), причем определяемые значения x и у допускают погрешности Dх и Dy. При достаточно малых Dх и Dу приращение функции можно заменить ее дифференциалом . Здесь и погрешности Dх, Dу, и коэффициенты при них могут быть отрицательными и положительными. Заменим их абсолютными значениями и, учитывая свойства абсолютных величин, получим следующее неравенство:

Если через  обозначить максимальные абсолютные погрешности (или границы для абсолютных погрешностей), то эту формулу можно записать в виде:

Относительной погрешностью называется отношение абсолютной погрешности к абсолютному значению измеряемой величины 

Максимальная относительная погрешность равна отношению максимальной абсолютной погрешности к абсолютному значению измеряемой величины 

Пример 1.16.  Для вычисления объема цилиндра были вычислены его высота и диаметр основания. При этом оказалось, что высота h = 60 см, а диаметр D = 50 см. Границы ошибок, допущенных при измерении Dh = DD = 0,1 см.

Найти максимальную абсолютную погрешность вычисления объема цилиндра.

Решение.  Известно, что объем цилиндра  

V = (3,14·2500·60)/4 = 117750 см3 = 117,75 дм3.

Чтобы вычислить границу ошибки в полученном результате, примем DV » dV.

Оценим абсолютную величину dV

DV  [(3,14·2500)/4]0,1 + [(3,14·60·50)/2]0,1 = 667,25 см3 » 0,7 дм3.

Итак, границы абсолютной погрешности вычисления объема цилиндра  дм3. Максимальная относительная погрешность

  или    = 0,59 %.

Пример 1.17.  Дана функция z = х – у. Найти максимальную абсолютную погрешность.

Решение. Так как  dz = х – Dу,  то  |dz|  |Dх| + |Dу|.

Следовательно, .

Пример 1.18.  Дана функция  z = х/у.  Найти максимальную относительную погрешность.

Решение.  Максимальная абсолютная погрешность