Множество L называется линейным пространством , а его элементы — векторами (будем обозначать их с чертой сверху), если:1) определена операция сложения, которая ставит в соответствие элемент, называемый суммой, который обозначается 2) определена операция умножения на число, которая ставит в соответствие элемент, называемый произведением вектора на число, который обозначается;3) выполняются следующие аксиомы:

1°.;2о.; 3°. существует единственный вектор такой, что справедливо равенство:;4°.такой, что ;;5°.;6°.;7°.;8°..

Вектор называется противоположным вектору. Вектор называется нулевым вектором. Сумма векторов называется разностью и обозначается:.Выражение вида называется линейной комбинацией векторов. Линейная комбинация векторов называется тривиальной, если

и нетривиальной, если. Далее будем использовать факт, что

Система векторов называется линейно зависимой , если существует нетривиальная линейная комбинация этих векторов, равная нулевому вектору.Если равенство нулевому вектору возможно лишь для тривиальной линейной комбинации, то система векторов называется линейно независимой . Таким образом:

система векторов линейно зависима, если такие, что

система векторов линейно независима, если справедливо

Утверждение 1.5. Система из n (n > 1) ненулевых векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда хотя бы один из векторов является линейной комбинацией остальных.

Доказательство Необходимость. Так как система векторов линейно зависима, то такие, что

.

Пусть, например, а i = 0, тогда

или,

Таким образом, вектор является линейной комбинацией остальных n — 1 векторов. Достаточность. Пусть, например,

перенесем, в правую часть равенства и получим нетривиальную линейную комбинацию векторов (так как), равную.

Базисом в линейном пространстве L называется любая упорядоченная система векторов, обладающая следующими свойствами:

· она линейно независима; · любой вектор из L является линейной комбинацией векторов этой системы.

Пусть таких векторов в системе n штук. Обозначим эти векторы:. Коэффициенты линейной комбинации векторов, о которой идет речь в определении (свойство б), называются координатами вектора в базисе, т.е., если, то

и тогда — координаты вектора x в базисе. Обозначим через Х матрицу-столбец, состоящую из координат вектора x, через e — матрицу-строку, состоящую из векторов базиса, тогда

Утверждение 1.6 Координаты любого вектора определяются в базисе e однозначно.

Доказательство. Пусть тогда

.

Так как система векторов линейно независима, то все коэффициенты полученной линейной комбинации равны 0, т.е.

следовательно, координаты вектора x определяются однозначно.