10.2.1.        Одноканальная модель с пуассоновским входным потоком с экспоненциальным распределением длительности обслуживания

Простейшей одноканальной моделью с вероятностными входным потоком и процедурой обслуживания является модель, характеризуемая показательным распределением как длительностей интервалов между поступлениями требований, так и длительностей обслуживания. При этом плотность распределения длительностей интервалов между поступлениями требований имеет вид

,

где  — интенсивность поступления заявок в систему.

Плотность распределения длительностей обслуживания:

,

где  — интенсивность обслуживания.

Потоки заявок и обслуживание простейшие.

Пусть система работает с отказами. Необходимо определить абсолютную и относительную пропускную способность системы.

Представим данную систему массового обслуживания в виде графа (рис. 10.1), у которого имеются два состояния:

S0   — канал свободен (ожидание);

S1   — канал занят (идет обслуживание заявки).

Рис. 10.1 Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Обозначим вероятности состояний: P0(t)   — вероятность состояния «канал свободен»; P1(t) — вероятность состояния «канал занят». По размеченному графу состояний (рис. 10.1) составим систему дифференциальных уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

    (10.1)

Система линейных дифференциальных уравнений (10.1) имеет решение с учетом нормировочного условия P0(t) + P1(t) = 1. Решение данной системы называется неустановившимся, поскольку оно непосредственно зависит от t  и выглядит следующим образом:

P1(t) = 1 - P0(t) = 1

Нетрудно убедиться, что для одноканальной СМО с отказами вероятность P0(t)   есть не что иное, как относительная пропускная способность системы q.

Действительно, P0 — вероятность того, что в момент t канал свободен и заявка, пришедшая к моменту t, будет обслужена, а следовательно, для данного момента времени t среднее отношение числа обслуженных заявок к числу поступивших также равно P0(t), т. е.

q = P0(t)

По истечении большого интервала времени (при ) достигается стационарный (установившийся) режим:

Зная относительную пропускную способность, легко найти абсолютную. Абсолютная пропускная способность (А) — среднее число заявок, которое может обслужить система массового обслуживания в единицу времени:

Вероятность отказа в обслуживании заявки будет равна вероятности состояния «канал занят»:

Данная величина Pотк может быть интерпретирована как средняя доля необслуженных заявок среди поданных.

Пример 10.1. Пусть одноканальная СМО с отказами представляет собой один

токарный станок. Заявка — деталь, прибывшая в момент, когда станок занят, — получает отказ в обслуживании. Интенсивность потока деталей  (деталь в час). Средняя продолжительность обслуживания – 0,4 часа. Поток деталей и поток обслуживании являются простейшими.

Требуется определить в установившемся режиме предельные значения:

– относительной пропускной способности q;

– абсолютной пропускной способности А;

– вероятности отказа Pотк;

Сравните фактическую пропускную способность СМО с номинальной, которая была бы, если бы каждая деталь обработывалась точно 0,4 часа и детали следовали одна за другой без перерыва.

Решение

1. Определим интенсивность потока обслуживания:

2. Вычислим относительную пропускную способность:

.

Величина q означает, что в установившемся режиме система будет обслуживать примерно 33 % поступающих деталей.

3. Абсолютную пропускную способность определим по формуле:

.

Это означает, что станок способен осуществить в среднем 1,67 обработки деталей в час.

4. Вероятность отказа:

.

Это означает, что около 67% деталей на обработку получат отказ.

5. Определим номинальную пропускную способность системы:

 (деталей в час).

Оказывается, что Аном  в 1,5 раза  больше, чем фактическая пропускная способность, вычисленная с учетом случайного характера потока заявок и

времени обслуживания.

Рассмотрим теперь одноканальную СМО с ожиданием.

Система массового обслуживания имеет один канал. Входящий поток заявок на обслуживание — простейший поток с интенсивностью . Интенсивность потока обслуживания равна  (т. е. в среднем непрерывно занятый канал будет выдавать  обслуженных заявок). Длительность обслуживания — случайная величина, подчиненная показательному закону распределения. Поток обслуживании является простейшим пуассоновским потоком событий. Заявка, поступившая в момент, когда канал занят, становится в очередь и ожидает обслуживания.

Предположим, что независимо от того, сколько требований поступает на вход обслуживающей системы, данная система (очередь + обслуживаемые клиенты) не может вместить более N-требований (заявок), т. е. клиенты, не попавшие в ожидание, вынуждены обслуживаться в другом месте. Наконец, источник, порождающий заявки на обслуживание, имеет неограниченную (бесконечно большую) емкость.

Граф состояний СМО в этом случае имеет вид, показанный на рис. 10.2.

Рис. 10.2 Граф состояний одноканальной СМО с ожиданием (схема гибели и размножения)

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S0    — «канал свободен»;

S1    — «канал занят» (очереди нет);

S2    — «канал занят» (одна заявка стоит в очереди);

……………………………………………………. 

Sn    — «канал занят» (n -1 заявок стоит в очереди);

SN   — «канал занят» (N — 1 заявок стоит в очереди). Стационарный процесс в данной системе будет описываться следующей системой алгебраических уравнений:

,   (10.2)

где , n – номер состояния.

Решение приведенной выше системы уравнений (10.2) для нашей модели СМО имеет вид

Тогда

Следует отметить, что выполнение условия стационарности  для данной СМО не обязательно, поскольку число допускаемых в обслуживающую систему заявок контролируется путем введения ограничения на длину очереди (которая не может превышать N – 1), а не соотношением между интенсивностями входного потока, т. е. не отношением .

Определим характеристики одноканальной СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди, равной (N – 1):

– вероятность отказа в обслуживании заявки:

– относительная пропускная способность системы:

– абсолютная пропускная способность:

   (10.3)

– среднее число находящихся в системе заявок:

– среднее время пребывания заявки в системе:

– средняя продолжительность пребывания клиента (заявки) в очереди:

– среднее число заявок (клиентов) в очереди (длина очереди):

Рассмотрим пример одноканальной СМО с ожиданием.

Пример 10.2. Участок цеха представляет собой одноканальную СМО.


Число станков, на которых может быть обработана деталь, ограниченно и равно 3 [(N — 1) = 3]. Если все станки заняты, т.е. обрабатываются три детали, то очередная деталь, поступающая на обработку, в очередь на не становится. Поток деталей, поступающих на обработку, распределен по закону Пуассона и имеет интенсивность  = 0,85 (детали в час). Время обраблотки детали распределено по показательному закону и в среднем равно 1,05 час.

Требуется определить вероятностные характеристики участка цеха, работающего в стационарном режиме.

Решение

1. Параметр потока обработки деталей:

2. Приведенная интенсивность потока деталей определяется как отношение интенсивностей  и , т.е.

.

3. Вычислим финальные вероятности системы:

;

;

;

;

4. Вероятность отказа в обработки детали:

.

5. Относительная пропускная способность участка цеха:

.

6. Абсолютная пропускная способность участка цеха

 (детали в час)

7. Среднее число деталей, находящихся на обработки и в очереди (т.е. в системе массового обслуживания):

8. Среднее время пребывания детали в системе:

 часа

9. Средняя продолжительность пребывания заявки в очереди на обслуживание:

 часа.

10. Среднее число заявок в очереди (длина очереди):

.

Работу рассмотренного участка цеха можно считать удовлетворительной, так как участок не обрабатывает детали в среднем в 15,8% случаев (Pотк = 0,158).

Перейдем теперь к рассмотрению одноканальной СМО с ожиданием без ограничения на вместимость блока ожидания (т.е. ) Остальные условия функционирования СМО остаются без изменений.

Стационарный режим функционирования данной СМО существует при   для любого n = 0, 1, 2, …  и когда . Система алгебраических уравнений,

описывающих работу СМО при   для любого n = 0, 1, 2, … . имеет вид

Решение данной системы уравнений имеет вид

n = 0, 1, 2, …

где .

Характеристики одноканальной СМО с ожиданием, без ограничения на длину очереди, следующие:

- среднее число находящихся в системе клиентов (заявок) на обслуживание:

- средняя продолжительность пребывания клиента в системе:

- среднее число клиентов в очереди на обслуживании:

- средняя продолжительность пребывания клиента в очереди:

Пример 10.3. Вспомним о ситуации, рассмотренной в примере 10.2, где речь идет о функционировании участка цеха. Пусть рассматриваемый участок цеха располагает неограниченным складом для хранения поступающих на обработку деталей, т. е. длина очереди не ограничена.

Требуется определить финальные значения следующих вероятностных характеристик:

- вероятности состояний системы (участка цеха);

- среднее число деталей, находящихся в системе (на обработке и в очереди);

- среднюю продолжительность пребывания детали в системе (на обработке и в очереди);

- среднее число деталей в очереди на обработку;

- среднюю продолжительность пребывания детали в очереди.

Решение

1. Параметр потока обслуживания  и приведенная интенсивность потока автомобилей  определены в примере 10.2:

; =0,893.

2. Вычислим предельные вероятности системы по формулам

;

;

;

;

;

и т.д.

Следует отметить, что P0(t) определяет долю времени, в течение которого участок цеха вынужденно бездействует (простаивает). В нашем примере она составляет 10,7%, так как P0(t) = 0,107.

3. Среднее число деталей, находящихся в системе (на обработке и в очереди):

 ед.

4. Средняя продолжительность пребывания клиента в системе :

час.

5. Среднее число деталей в очереди на обработку:

.

6. Средняя продолжительность пребывания детали в очереди:

час.

7. Относительная пропускная способность системы:

q = 1

т. е. каждая заявка, пришедшая в систему, будет обслужена.

8. Абсолютная пропускная способность (10.3):

Следует отметить, что предприятие, осуществляющее обработку деталей, прежде всего, интересует количество деталей, которое будет обработано при снятии ограничения на длину очереди.

Допустим, в первоначальном варианте мест для поступающих деталей было равно трем (см. пример 10.2). Частота т возникновения ситуаций, когда прибывающая на обработку деталь не имеет возможности присоединиться к очереди:

В нашем примере при N = 3 + 1 = 4  и

 детали в час

При 12-часовом режиме работы оборудования это эквивалентно тому, что на станке в среднем за смену (день) будет теряться 12 • 0,134 = 1,6 детали.

Снятие ограничения на длину очереди позволяет увеличить количество обработанных деталей в нашем примере в среднем на 1,6 детали за смену (12ч. работы). Ясно, что решение относительно увеличения места для хранения деталей, ожидающих обработки, должно основываться на оценке экономического ущерба.