10.2.2.        Многоканальная модель с пуассоновским входным потоком и экспоненциальным распределением длительности обслуживания

В подавляющем большинстве случаев на практике системы массового обслуживания являются многоканальными, и, следовательно, модели с n обслуживающими каналами (где n > 1) представляют несомненный интерес.

Процесс массового обслуживания, описываемый данной моделью, характеризуется интенсивностью входного потока , при этом параллельно может обслуживаться не более n клиентов (заявок). Средняя продолжительность обслуживания одной заявки равняется . Входной и выходной потоки являются пуассоновскими. Режим функционирования того или иного обслуживающего канала не влияет на режим функционирования других обслуживающих каналов системы, причем длительность процедуры обслуживания каждым из каналов является случайной величиной, подчиненной экспоненциальному закону распределения. Конечная цель использования n параллельно включенных обслуживающих каналов заключается в

повышении (по сравнению с одноканальной системой) скорости обслуживания требований за счет обслуживания одновременно n  клиентов.

Граф состояний многоканальной системы массового обслуживания с отказами имеет вид, показанный на рис. 10.3.

Рис. 10.3 Граф состояний многоканальной СМО с отказами

Состояния СМО имеют следующую интерпретацию:

S0   — все каналы свободны;

S1   — занят один канал, остальные свободны;

…………………………………………………….

Sk  — заняты ровно k каналов, остальные свободны;

…………………………………………………….

Sn  — заняты все n каналов.

Уравнения Колмогорова для вероятностей состояний системы P0, … ,Pk, … Pn будет иметь следующий вид:

     (10.4)

Начальные условия решения системы таковы:

P0(0) = 1,   P1(0) = P2(0) = … = Pk(0) = … = P1(0) = 0 .

Стационарное решение системы (10.4) имеет вид:

   (10.5)

где .

Формулы для вычисления вероятностей Pk называются формулами Эрланга.

Определим вероятностные характеристики функционирования многоканальной СМО с отказами в стационарном режиме:

- вероятность отказа:

,   (10.6)

так как заявка получает отказ, если приходит в момент, когда все n каналов заняты. Величина Pотк характеризует полноту обслуживания входящего потока;

- вероятность того, что заявка будет принята к обслуживанию (она же — относительная пропускная способность системы q) дополняет Pотк  до единицы:

- абсолютная пропускная способность

- среднее число каналов, занятых обслуживанием () следующее:

Величина  характеризует степень загрузки СМО.

Пример 10.4. Пусть n-канальная СМО представляет собой вычислительный центр (ВЦ) с тремя (n = 3) взаимозаменяемыми ПЭВМ для решения поступающих задач. Поток задач, поступающих на ВЦ, имеет интенсивность  = 1 задаче в час. Средняя продолжительность обслуживания  = 1,8 час. Поток заявок на решение задач и поток обслуживания этих заявок являются простейшими.

Требуется вычислить финальные значения:

- вероятности состояний ВЦ;

- вероятности отказа в обслуживании заявки;

- относительной пропускной способности ВЦ;

- абсолютной пропускной способности ВЦ;

- среднего числа занятых ПЭВМ на ВЦ.

Определите, сколько дополнительно надо приобрести ПЭВМ, чтобы увеличить пропускную способность ВЦ в 2 раза.

Решение

1. Определим параметр  потока обслуживании:

2. Приведенная интенсивность потока заявок

.

3. Предельные вероятности состояний найдем по формулам Эрланга (10.5):

;

;

;

;

;

;

.

4. Вероятность отказа в обслуживании заявки

.

5. Относительная пропускная способность ВЦ

.

6. Абсолютная пропускная способность ВЦ

.

7. Среднее число занятых каналов – ПЭВМ

.

Таким образом, при установившемся режиме работы СМО в среднем будет занято 1,5 компьютера из трех — остальные полтора будут простаивать. Работу рассмотренного ВЦ вряд ли можно считать удовлетворительной, так как центр не обслуживает заявки в среднем в 18% случаев. Очевидно, что пропускную способность ВЦ при данных  и  можно увеличить только за счет увеличения числа ПЭВМ.

Определим, сколько нужно использовать ПЭВМ, чтобы сократить число необслуженных заявок, поступающих на ВЦ, в 10 раз, т.е. чтобы вероятность отказа в решении задач не превосходили 0,0180. Для этого используем формулу (10.6):

Составим следующую таблицу:

1

2

3

4

5

6

0,357

0,266

0,186

0,172

0,167

0,166

0,643

0,367

0,18

0,075

0,026

0,0078

Рассмотрим многоканальную систему массового обслуживания с ожиданием.


Процесс массового обслуживания при этом характеризуется следующим: входной и выходной потоки являются пуассоновскими с интенсивностями  и  соответственно; параллельно обслуживаться могут не более S клиентов. Система имеет S каналов обслуживания. Средняя продолжительность обслуживания одного клиента равна — .

В установившемся режиме функционирование многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью может быть описано с помощью системы алгебраических уравнений:

   (10.7)

Решение системы уравнений (10.7) имеет вид

   (10.8)

   (10.9)

где

Решение будет действительным, если выполняется следующее условие: .

Вероятностные характеристики функционирования в стационарном режиме многоканальной СМО с ожиданием и неограниченной очередью определяются по следующим формулам:

- вероятность того, что в системе находится n клиентов на обслуживании, определяется по формулам (10.8) и (10.9);

- среднее число клиентов в очереди на обслуживание

- среднее число находящихся в системе клиентов (заявок на Обслуживание и в очереди)

- средняя продолжительность пребывания клиента (заявки на обслуживание) в очереди

- средняя продолжительность пребывания клиента в системе

.

Рассмотрим примеры многоканальной системы массового обслуживания с ожиданием.

Пример 10.5. Механическая мастерская завода с тремя постами (каналами) выполняет ремонт малой механизации. Поток неисправных механизмов, прибывающих в мастерскую, — пуассоновский и имеет интенсивность  = 2,5 механизма в сутки, среднее время ремонта одного механизма распределено по показательном у закону и равно  = 0,5 сут. Предположим, что другой мастерской на заводе нет, и, значит, очередь механизмов перед мастерской может расти практически неограниченно.

Требуется вычислить следующие предельные значения вероятностных характеристик системы:

- вероятности состояний системы;

- среднее число заявок в очереди на обслуживание;

- среднее число находящихся в системе заявок;

- среднюю продолжительность пребывания заявки в очереди;

- среднюю продолжительность пребывания заявки в системе.

Решение

1. Определим параметр потока обслуживаний

2. Приведенная интенсивность потока заявок

,

при этом .

Поскольку  < 1, то очередь не растет безгранично и в системе наступает предельный стационарный режим работы.

3. Вычислим вероятности состояний системы:

4. Вероятность отсутствия очереди у мастерской

5. Среднее число заявок в очереди на обслуживание

.

6. Среднее число находящихся в системе заявок

.

7. Средняя продолжительность пребывания механизма в очереди на обслуживание

 суток.

8. Средняя продолжительность пребывания механизма в мастерской (в системе)

 суток.