10.  ИНТЕГРАЛЬНОЕ  ИСЧИСЛЕНИЕ  ФУНКЦИЙ ОДНОЙ  НЕЗАВИСИМОЙ  ПЕРЕМЕННОЙ

1) Если , то  — неопределённый интеграл, то есть .

2)  Основные свойства неопределённого интеграла: 

а)               ;  ;  

б)               ;   

в)               ,  — постоянная; 

г)               .

3)  Таблицы простейших неопределённых интегралов

.                                                       .

.                                                                       .

.                                                                      .

.                              .

.                         .

.                                                              .

.                               .

.                                        .

                                                                                                     .

4)  Наиболее важные методы интегрирования:

а) метод разложения (непосредственного интегрирования);

б) метод замены (подстановки);

в) метод интегрирования по частям;

г) интегрирование простейших дробей и дробно-рациональных функций;

д) интегрирование тригонометрических выражений;

е) интегрирование простейших иррациональностей.

Объяснения.

а) метод разложения или непосредственного интегрирования:

,          где .

Пример 44.  Найти   .

Решение:                                =

                                                .

Пример 45.  Найти                .

Пример 46.  Найти                .

Решение:                                .

Пример 47.  Найти                .

Решение:                                .

б) метод подстановки (введение новой переменной):

,

где - непрерывно дифференцируемая, монотонная функция переменной t.

Пример 48.  Найти                .

Решение: Делаем замену , ,

тогда                                       ,

но t = 5x, поэтому делаем возврат к старой переменной:

.

Пример 49.  Найти                .

Решение: Делаем замену  (подстановка Эйлера), где t – новая переменная. Перепишем это равенство так:

найдём

Откуда                        .

Таким образом,                              

в) метод интегрирования по частям:

,

где u = u(x),  v = v(x) – непрерывно дифференцируемые функции.

Пример 50.  Найти .

Решение:  

 

г) интегрирование простейших дробей и рациональных функций:

       где       .

Нахождение таких  интегралов основано на разложении рациональной дроби на сумму простейших дробей вида:

,

где       n1 и n2 – натуральные числа; a, A, B, C, p, q – действительные числа;  (корни трёхчлена  — комплексные).

Пример 51. Найти:   .

Решение:

1) приравняем знаменатель нулю, найдём его корни: х1=2, х2=3,

2) дробь:

;

тогда                                             .

Следовательно,

.

Или                                         ;

.

1)  Найдём корни знаменателя, для чего

.

2)  Разложим подынтегральную функцию на сумму простейших дробей:

;

.

3) ;

4) .

д) интегрирование тригонометрических выражений проводится с использованием тригонометрических формул:

а)               .

б)               .

в)               .

Неопределённые интегралы вида , где  находят с помощью формул:

,

если m и n – чётные; если среди m и n есть нечётные, то от нечётной степени отделяют множитель и вводится новая переменная.


Неопределённый интеграл вида , где R – рациональная функция от  sin х  и  cos х, введением универсальной подстановки  приводится к интегралу  от рациональной функции.

Примеры 52.

Решения:

=

.

е) интегрирование простейших иррациональностей можно проводить с использованием метода замены переменной с помощью тригонометрических подстановок, гиперболических и других.

Примеры 53.

Решения:

=;

;

.

5) Формула Ньютона-Лейбница: если f(x) – непрерывна  на [a, b] и , то

.

6)  Основные свойства определённого интеграла:

а)                  ;

б)                  ;

в)                  ;

г)                  ;

д)                  ;

е)                  ;

ж)                 , , (везде рассматриваемые функции непрерывны).

7)  Теорема о среднем: если  f(x) – непрерывна на [a, b], то

.

8)  Формула интегрирования по частям в определённом интеграле:

.

9)  Формула замены переменной в определённом интеграле:

,

где

10)  Формула трапеций:

,

где             .

11)  Формула Симпсона

.

12)  Несобственный интеграл первого рода:

.

13)  Несобственный интеграл от неограниченных функций:

,

где        – точка разрыва второго рода.

Пример 54.  Найти: .

Решения:

;

.

Значит, данный интеграл сходится.

: подынтегральная функция  терпит бесконечный разрыв при х = 3, следовательно, используя формулу для нахождения несобственного интеграла от неограниченной функции, будем иметь:

Следовательно, данный интеграл расходится.

14)  Площадь криволинейной трапеции, ограниченной непрерывной линией y = f(x) (), осью Ох и двумя ординатами f(a) и f(b) (a < b):

.

15)  Площадь сектора, ограниченного непрерывной линией  ( и  — полярные координаты)  и лучами :

.

16)  Длина дуги гладкой кривой y = f(x), :

.

17)  Длина дуги в полярных координатах:

.

18)  Длина дуги, заданной параметрически ():

.

19)  Объем тела с известным поперечным сечением S(x):

.

20)  Объем тела вращения:

 — вокруг оси OX;

 — вокруг оси ОУ .

21)  Площадь поверхности вращения:

.

22)  Работа переменной силы F = F(x) на участке :

.

Пример 55:  Найти площадь фигуры, ограниченной линией .

Решение:  Площадь криволинейной трапеции будет:

.

Пример 56:  Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом:

.

Решение: фигура симметрична, следовательно, используя параметрическое задание, найдем:

Пример 57: Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой  (см. рис. 5.1, в).

Решение:  Фигура симметрична относительно своей оси, по формуле площади в полярных координатах получим:

.

Таким образом, .

Пример 58:  Вычислить длину дуги винтовой линии:

.

Решение:

,

тогда                                         

Пример 59:  Вычислить длину кардиоиды .

Решение:  Найдем

Пример 60: Вычислить площадь поверхности, образованной вращением вокруг оси ОХ линии .

Решение:

 так как .

По формуле поверхности вращения получаем:

Пример 61:  Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси ОХ фигуры, ограниченной линией , у = 0, х = 5.

Решение:  Найдем , тогда по формуле для объема вращения получим:

.