2.1.1. Понятие комплексного числа. Основные определения

Изучая курс высшей математики, мы неоднократно пользовались некоторыми понятиями теории функций комплексного переменного (ТФКП). Сделаем попытку более подробно изложить основы этой теории, которая имеет важную роль в математике и ее многочисленных приложениях.

Понятие числа – одно из основных в математике и имеет многовековую историю. Число возникло не в результате свободного творчества человека, а было создано для удовлетворения практических потребностей. В процессе развития практической деятельности людей понятие числа изменялось и совершенствовалось, и в итоге были получены вещественные числа (числа рациональные и иррациональные, положительные и отрицательные). Геометрически вещественные числа изображаются точками числовой оси – прямой, на которой указано положительное направление, масштаб и начало отсчета.

Однако не успело закрепиться новое расширенное понятие числа, как в процессе дальнейшего развития математики возникла нужда в расширении множества действительных чисел. Ввели так называемые мнимые числа. Новую единицу обозначили буквой i, понимая величину , или  i2 = –1 (буква i – первая бува слова imaginarius, что означает «мнимый»). После введения этой единицы стало возможным извлечение квадратного корня из отрицательного числа, что в множестве вещественных чисел невозможно.

По исторической традиции число i назвали мнимой единицей, а число ib – чисто мнимыми числами.

Число вида a+ib получило название комплексного числа, в котором различают действительную часть а и мнимую часть b.

С расширением понятия числа, целый ряд вопросов, которые в области действительного переменного не могли быть решены, получили простое и естественное объяснение в области комплексного переменного.

Обозначим комплексное число  одной буквой  z:

                                  (2.1)

Этой же буквой обозначим точку на плоскости xОy, изображающую собой это число z = x + iy (рис. 2.1). Числа х и у называют, соответственно, действительной и мнимой частями числа z и обозначают символами:

x = Re z                                    (2.2)

(от латинского слова realis – действительный),

y = Jm z                                  (2.3)

(от латинского слова imaginarius – мнимый).

Числа x и y являются также координатами точки в комплексной плоскости x и y. Множество всех действительных чисел изображается осью абсцисс, называемой поэтому действительной осью; множество всех чисто мнимых чисел лежит на оси ординат, называемой мнимой осью. Плоскость, точки которой изображают комплексные числа, называется комплексной плоскостью или плоскостью z (будем обозначать   множество

всех конечных чисел z и z без кружка – расширенную комплексную плоскость, рассматривая и z = ¥ – называемую бесконечно удаленной точкой).

Комплексное число z = x + iy можно трактовать как вектор OZ исходящий из начала координат.


Число z = 0, если x = 0 и y = 0. Вообще: два комплексных числа z1 и z2 равны тогда и только тогда, когда Rez1 = Rez2 и Jmz1 = Jmz2. То есть понятие о равенстве двух комплексных чисел вытекает из их геометрической интерпретации (две точки на плоскости совпадают только в том случае, если эти точки имеют одинаковые координаты по осям).

Знаками неравенства комплексные числа соединять нельзя.

Вектор z = x + iy можно определить не только координатами х и у; его можно определить однозначно и полярными координатами: длиной вектора r = |z| и углом j, который вектор z образует с положительным направлением оси Ох (см. рис. 2.1).

Из DОхz имеем:

х = r cos j;     у = r sin j;                                                      (2.4)

r = + ;     tg j = ;    j = arctg .                                   (2.5)

Положительное число r = |z| называется модулем, а угол j аргументом комплексного числа z = x+iy и обозначается:

j = Arg z   (z ¹ 0).                                                           (2.6)

Отметим, что при данных х и у модуль числа z определяется единственным образом, а аргумент j определяется лишь с точностью до слагаемого, кратного 2p, так как вектор z совместится сам с собой, если его повернуть на любое число полных оборотов в ту или другую сторону вокруг точки О.

Вывод: если два комплексных числа равны, то модули их равны, а аргументы могут отличаться слагаемым 2kp    (k = 0, ± 1, …).

Используя (2.4) число z = x + iy можем представить в форме:

z = r (cos j + i sin j).                                                    (2.7)

Эта форма комплексного числа называется тригонометрической, а форма (2.1) называется алгебраической. Отметим, что аргумент числа z=0 не определяется, а то значение аргумента j0, которое удовлетворяет условию –p < j0 £ p,   называется главным значением аргумента и обозначается:   arg z. Итак,

Arg z = arg z + 2kp (k = 0, ± 1, ± 2, …).                                       (2.8)

Для главного значения аргумента верны соотношения:

                                            (2.9)

Например, arg1 = 0, Arg1 = 2kp;

arg i = , Arg i =  + 2kp;

arg(i+1) = , Arg(i+1) =  + 2kp;

arg(i-1) = , Arg(i-1) =  + 2kp;

arg (-1) = , Arg(-1) = (2k+1) .