2.1.1. Высказывания. Логические связки

Определение. Под высказыванием принято понимать языковое предложение, о котором имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно в данный момент времени.

Высказывания чаще всего обозначают маленькими латинскими буквами a, b, c, х1, х2, …

В логике высказываний интересуются не содержанием, а истинностью или ложностью высказываний. Истинностные значения – истина и ложь – будем обозначать И и Л соответственно. Множество {И, Л} называется множеством истинностных значений.

Определение. Высказывание называют простым (элементарным), если оно рассматривается как некое неделимое целое (аналогично элементу множества). Сложным (составным) называется высказывание, составленное из простых с помощью логических связок.

В естественном языке роль связок при составлении сложных предложений из простых играют следующие грамматические средства: союзы «и», «или», «не»; слова «если …, то», «либо … либо», «тогда и только тогда, когда» и др. В логике высказываний логические связки, используемые для составления сложных высказываний, обязаны быть определены точно. Рассмотрим логические связки (операции) над высказываниями, при которых истинностные значения составных высказываний определяются только истинностными значениями составляющих высказываний, а не их смыслом.

В дальнейшем значению «истина» будем ставить в соответствие 1, а «ложь» — 0. Каждой логической операции ставится в соответствие таблица истинности. Таблица истинности выражает значения истинности высказываний в зависимости от значений элементарных высказываний. В дальнейшем буден использовать таблицу истинности для установления истинностных значений сложных высказываний при данных значениях входящих в него элементарных высказываний.

Определение. Отрицанием высказывания является новое высказывание, истинное только тогда, когда исходное высказывание ложно (табл. 2.13).

Таблица 2.1 Таблица истинности для отрицания

номер набора

a

0

0

1

1

1

0

Отрицание обозначается через  и читается как «не а», «неверно, что а».

Пример 15.

А – «Степан любит танцевать».

Тогда  — «Не верно, что Степан любит танцевать».

Определение. Конъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое истинно только тогда, когда оба исходных высказывания истинны (табл. 2.2).

Конъюнкция обозначается или a&b и читается как «a и b», «a, но b», «a, а b».

Таблица 2.2 Таблица истинности для конъюнкции

номер набора

a

b

aÙb

0

0

0

0

1

0

1

0

2

1

0

0

3

1

1

1

Пример 16.

а – «Степан любит танцевать», b – «Степан любит петь».

Тогда   — «Степан любит танцевать и петь».

Определение. Дизъюнкцией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно только тогда, когда оба исходных высказывания ложны (табл. 2.3).

Дизъюнкция обозначается через и читается как «a или b».

Таблица 2.3 Таблица истинности для дизъюнкции

номер набора

a

b

aÚb

0

0

0

0

1

0

1

1

2

1

0

1

3

1

1

1

Пример 17.

а – «Степан любит танцевать», b – «Степан любит петь».

Тогда   — «Степан любит танцевать или петь».

Определение. Импликацией двух высказываний является новое высказывание, которое ложно только тогда, когда первое истинно, а второе – ложно (табл. 2.4).

Импликация обозначается a® b и читается как «если a, то b»; « из а следует b». При этом a  называется посылкой или условием, b – следствием или заключением.

Таблица 2.4 Таблица истинности для импликации

номер набора

a

b

a®b

0

0

0

1

1

0

1

1

2

1

0

0

3

1

1

1

Пример 18.

а – «Степан любит танцевать», b – «Степан любит петь».

Тогда   — «Если Степан любит танцевать, то он любит петь».

Определение.


Эквиваленцией (или эквивалентностью) двух высказываний является новое высказывание, которое считается истинным, когда оба высказывания  либо одновременно истинны, либо одновременно ложны, и ложным во всех остальных случаях (табл. 2.5).

Таблица 2.5 Таблица истинности для эквивалентности

номер набора

a

b

a»b

0

0

0

1

1

0

1

0

2

1

0

0

3

1

1

1

Эквивалентность обозначается a» b и читается как «a эквивалентно .

Пример 19.

а – «Степан любит танцевать», b – «Степан любит петь».

Тогда  — «Для того, чтобы Степан любил танцевать, необходимо и достаточно, чтобы он любил петь».

Сведем все сказанное выше в единую таблицу и введем в рассмотрение еще три операции: сумма по модулю два, штрих Шеффера, стрелка Пирса (табл. 2.6).

Таблица 2.6 Краткие сведения о логических операциях

Обозначения логической операции

Другие обозначения логической операции

Набор истинностных значений, отвечающих данной логической операции

Названия логической операции и связки

Как читается выражение, приведенное в первом столбце

a

10

отрицание

неверно, что а; не а

a  b

a & b

a×b

ab

min(a; b)

0001

конъюнкция, логическое умножение, логическое «и»

a и b

a b

a+b

max(a; b)

0111

дизъюнкция, логическое сложение, логическое «или»

а или b

a® b

ab

ab

1101

импликация, логическое следование

если а, то b;

а имплицирует b; а влечет b

» b

a  b

a « b

a  b

1001

эквиваленция, эквивалентность, равнозначность, тождественность

а тогда и только тогда, когда b; а эквивалентно b

a b

a+ b

a D b

0110

сумма по модулю два, разделительная дизъюнкция, разделительное «или»

а плюс b;

либо а, либо b

а|b

1110

штрих Шеффера, антиконъюнкция

неверно, что а и b;

а штрих Шеффера b

a  b

a o b

1000

стрелка Пирса, антидизъюнкция, функция Вебба, функция Даггера

ни а, ни b; а стрелка Пирса b