2.1.2. Операции над комплексными числами

Мы напомним здесь основные операции и известные ранее результаты.

Сложение комплексных чисел z1 = x1 + iy1  и  z2 = x2 + iy2 определяется равенством z1 + z2 = (x1+x2) + i(y1 + y2), а вычитание – действие, обратное сложению.

Произведение  z1·z2 = x1·x2y1y2 + i(x1y2 + x2y1)

Из определения произведения следует, что i·i = i2 = -1, а также, что z·z = x2+y2, где z = x+iy, а число z = xiy называется сопряженным к числу   z = x + iy. Деление определяется как действие, обратное умножению.

Умножение и деление чисел в тригонометрической форме записи получили исходя из правил умножения и деления этих числе в алгебраической форме. Для чего представляем числа в тригонометрической форме:

z1 = r1 (cos j1 + i sin j1); z2 = r2 (cos j2 + i sin j2).

Тогда

z1·z2=r1·r2[(cos j1cos j2–sin j1sin j2) + i (cos j1sin j2 + cos j2sin j1)]

откуда

z1·z2 = r1r2 [cos (j1+ j2) + i sin (j1+ j2)].                                    (2.10)

Деление чисел приводит к формуле:

[cos (j1j2) + i sin (j1j2)],  z1 ¹ 0,  z2 ¹ 0.                              (2.11)

Выводы:

1) При умножении чисел в тригонометрической форме модули перемножаются, а аргументы их складываются;

2) При делении – модули делят, а аргументы вычитают:

; Arg()=Argz1Argz2.

Из правила умножения следует, что

zn = rn [cos(nArgz) + i sin(nArgz)],   n є N.                                  (2.12)

При |z| = 1 имеем : zn = cos nj + i sin nj = (cos j + i sin j)n – эта формула называется формулой Муавра.

Извлечение корня. Пусть n є N. Для данного комплексного числа z решим уравнение z = wn и назовем его корнем степени n из числа z. Когда z = 0, то все значения = 0. Пусть z ¹ 0. Представим z и w в тригонометрической форме:

z = r(cos j + i sin j), w = p(cosq + i sinq).

Так как z = wn, то

или

pn(cos nq + i sin nq) = r(cosj + i sinj).

Из равенства комплексных чисел следует:

pn = r; nq = j + 2kp, (k = 0, ± 1, …).

Отсюда:  p =  – арифметическое значение; 

q = .

Итак,

.                     (2.13)

Пример 1

Найти .

Решение.


Представим число z = -i в тригонометрической форме:

r = 1, tg j ® -¥ Þ j = ;.

-i = 1[cos() + i sin()].

Применим (2.13) при n = 3, получим:

 = (cos+ i sin), k=0, 1, 2.

При:                               k=0, ()0=cos– i sin;

k=1, ()1=cos+ i sin= 0 + i = I;

k=2, ()2= cos + i sin

Из математического анализа известны разложения ex, cos x и sin x в степенные ряды. Эти разложения имеют место и для рядов с комплексными членами. Поэтому для комплексного переменного:

                                                 (2.14)

Полагая вместо z величину ij в первую из формул (2.14) и, учитывая, что i2 = –1, i3 = –i, …, получим:

eij = 1++…=

=(1––…) + i (j–…) = cos j + i sin j.

Итак,

eij = cos j + i sin j .                                                     (2.15)

Формула (2.15) называется формулой Эйлера. Заменяя здесь j  на  –j, получим:

eij = cos ji sin j .                                                     (2.16)

Использование формулы Эйлера позволяет получить показательную форму комплексного числа. Именно:

z = r (cos j + i sin j) = reij..                                               (2.17)

Пример 2

Написать в показательной форме комплексные числа:

а) z = 1;   б) z = i;   в) z = 1+i;   г) z = 1–i;   д) z = –1.

Решение. а) r = 1, j = 2kp. По формуле (2.17): 2 = 2e2kpi.

б) i = ei (+2kp);    в) r = , j = +2kp, 1+i = ei (+2kp);

г) 1– i = ei (+2kp);    д) –1= ei ( p+2kp) (k = 0, ±1, ±2, …).

Задачи для упражнений

Записать в показательной форме числа: а) ;   б) p;   в) ;   г) i;   д) 2i;   е) 2+2i; ж). cos a + i sin a (0<a<).