2.1. О понятии модели

Пусть имеется некоторая конкретная система. Лишь в единичных случаях мы имеем возможность провести с самой этой системой все интересующие нас исследования. В большинстве же ситуаций по разным причинам (сложность, громоздкость, недоступность и т. д.) мы вынуждены рассматривать не саму систему, а формальное описание тех ее особенностей, которые существенны для целей исследования. Такое формальное описание принято называть моделью.

С ростом сложности системы возможности натурного эксперимента резко падают. Он становится дорогим, трудоемким, длительным по времени, в слабой степени вариативным. В таких случаях предпочтительнее работа с моделью. В ряде же случаев мы вообще не имеем возможности наблюдать систему в интересующем нас состоянии (например, аварийном).

Рассмотрение вместо самой системы (явления, процесса, объекта) ее модели практически всегда несет идею упрощения. Мы огрубляем представления о реальном мире, так как оперировать категорией модели экономичнее, чем действительностью. Но вопрос выделения и формальной фиксации тех особенностей, которые существенны для целей рассмотрения, достаточно сложен. Велико количество процессов и явлений, для которых на настоящий момент нет удовлетворительного описания. В области техники положение с моделированием можно считать удовлетворительным, но и здесь имеются «узкие» места, связанные с плохо определяемыми параметрами, коэффициентами, а также слишком грубые описания.

В разработке моделей различают три стадии:

1) построение модели (основная стадия);

2) пробная работа с ней;

3) корректировка и изменение по результатам пробной работы.

После этого модель считается готовой к использованию. Наиболее сложной и ответственной является первая стадия. Зачастую это в сильной степени неформализованный процесс, длительный путь проб и ошибок в поиске основной идеи. Построение принципиально новой модели носит характер открытия.

Достаточно сложным является и вопрос о том, кто должен создавать модель. Специалисту в данной практической области часто не хватает математических знаний, сведений о моделировании вообще, для сложных задач — знания системного анализа. Прикладному математику трудно хорошо ориентироваться в предметной области. Их совместная работа над моделью будет иметь смысл лишь при полном понимании друг друга.

Различают три основных вида моделей:

1) вербальные (словесные, описательные);

2) натурные (макетирование, физическое моделирование, масштабированные модели, модели части свойств и др.);

3) знаковые.

Среди знаковых моделей выделяется их важнейший класс – математические модели. Примеры других знаковых моделей – химические и ядерные формулы, графики, схемы, в том числе графовое изображение связей, информационных потоков в системе; с некоторой оговоркой (их относят и к макетам, т. е. натурным моделям) – чертежи, топографические карты.

Математическая модель – это описание протекания процессов (в том числе

функционирования, движения), описание состояния, изменения системы на языке алгоритмических действий с математическими формулами и логических переходов.

Понятия действий с формулами и логических операций полезно дополнить.


Так,  к ним относят процедуру запоминания элемента, его вызова и подстановки в нужное место (это неявно присутствует при работе с любой формулой), операцию «следует за» в упорядоченной совокупности, операцию сравнения и идентификации совпадения элементов и др. Также традиционно математическая модель допускает работу с таблицами, графиками, номограммами, выбор из совокупности процедур и элементов. Последнее, в частности, требует операций предпочтения, частичной упорядоченности, включения, идентификации принадлежности и т. д. Логические переходы могут совершаться в схеме из вербально описываемых элементов (операций), что позволяет считать математической моделью даже жестко фиксированную последовательность действий человека. Такая последовательность может эффективно изучаться математическими методами. Общий вывод состоит в том, что дать сколько-нибудь строгое и полное описание математической модели, по-видимому, невозможно.

Основное отличие знаковых моделей от остальных состоит в вариативности – в кодировании одним знаковым описанием огромного количества конкретных вариантов поведения системы. Так, линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами описывают и движение массы на пружине, и изменение тока в колебательном контуре, и измерительную схему системы автоматического регулирования, и ряд других процессов. Однако еще более важно то, что в каждом из этих описаний одни и те же уравнения в буквенном (а, вообще говоря, и в числовом) виде соответствуют бесконечному числу комбинаций конкретных значений параметров.

В знаковых моделях возможен дедуктивный вывод свойств, количество следствий в них обычно более значительно, чем в моделях других типов. Они отличаются компактной записью,  удобством работы, возможностью изучения в форме, абстрагированной от конкретного содержания. Все это позволяет считать знаковые модели наивысшей ступенью и рекомендовать стремиться к такой форме моделирования.

Деление моделей на вербальные, натурные и знаковые в определенной степени условно. Существуют смешанные типы моделей, использующие и вербальные, и знаковые построения. Можно утверждать, что нет знаковой модели без сопровождающей описательной, ведь любые знаки и символы необходимо пояснять словами. Часто отнесение модели к какому-либо типу является нетривиальным. Условность деления модели на типы означает, что это не более, чем их удобная характеристика. Последнее отнюдь не опровергает приведенные выше утверждения о знаковом описании как наивысшей ступени моделирования, а лишь подчеркивает, что такая форма описания выступает желаемой, обладающей наибольшим числом достоинств характеристикой.