2.2.1. Область и кривая в коплексной плоскости

Областью в комплексной плоскости называется множество D точек этой плоскости, обладающее свойствами:

1) открытости – вместе с точкой из D этому множеству принадлежит и достаточно малая окрестность с центром в этой точке;

2) связности – любые две точки D можно соединить ломаной, целиком состоящей из точек D.

Примером области могут служить окрестности точек на комплексной плоскости. Под e-окрестностью точки z0 понимают открытый круг радиуса e с центром в этой точке: |zz0| < e.

Область называется ограниченной (или конечной), если все ее точки можно поместить в круг достаточно большого конечного радиуса R. В противном случае область называется неограниченной (бесконечной).

Граничной точкой области D называют такую, которая сама не принадлежит D, но в любой ее окрестности лежат точки этой области (рис. 2.2,а). Совокупность граничных точек области D называется границей этой области.

Например, для  e-окрестности точки z = i  является окружность  |zi|=e. Так как z = x+iy,  то  |x + iy  –i| = e Þ = e Þ x2 + (y – 1)2 = e2 – окружность радиуса e с центром в точке х = 0,  у = 1 комплексной плоскости.

Область с присоединенной к ней границей называют замкнутой и обозначают D. Будем в дальнейшем предполагать, что граница области состоит из конечного числа замкнутых линий, разрезов (дуг) и точек. Линии и разрезы, входящие в состав границы будем предполагать всегда кусочно-гладкими.

Область называется односвязной, если граница состоит из одной связной линии. Область называется многосвязной, если граница области состоит из нескольких связных частей, например: двухсвязной, трехсвязной и т.д. – по числу не связных между собой частей границы. На рис. 2.2,б – пример двухсвязной области.

Обход односвязной области считается положительным, если она остается по левую руку (контур обходится против хода часовой стрелки). На рис. 2.2,б сделан разрез l, а обход области изображен положительным (область в результате разреза стала односвязной).

Пример 1

Построить области:

а) ;        б) ;      в) ; г) .

Указать, является ли каждая из этих областей открытой или замкнутой, ограниченной или неограниченной, односвязной или многосвязной.

Решение:

а)  поэтому получим: . Область (рис. 2.3) – замкнутая, ограниченная, односвязная.

б)  и  – лучи, выходящие из начала координат (рис. 2.4). Все точки, удовлетворяющие неравенству б) лежат внутри угла, образованного этими лучами, и на сторонах этого угла. Следовательно, область замкнутая, неограниченная, односвязная.

Неравенство  означает, что расстояние каждой точки z от точки  больше 1, но меньше 2. Поэтому областью есть кольцо (его внутренность), ограниченное концентрическими окружностями с центром в точке . Область – открытая, ограниченная, двухсвязная (рис. 2.5).

г) Неравенство  равносильно  или

,

или, возведя в квадрат обе части, получим:

х2 + у2 – 2у + 1 < х2 + у2 + 2у + 1.

Отсюда:  – верхняя полуплоскость (рис.


2.6).

Вывод: область у>0 – открытая, неограниченная, односвязная (рис. 2.4).

Определение. Кривая называется непрерывной, если она может быть задана параметрическими уравнениями:

,                                            (2.18)

в которых  – непрерывные функции на отрезке .

Например, окружность ;   дуга окружности           

;    дуга параболы  – непрерывные кривые;   гипербола  не является непрерывной, так как функции эти при    и    имеют точки разрыва.

С помощью комплексного переменного  параметрические уравнения кривой (2.18) можно записать в виде одного уравнения:     

.                                            (2.19)

Например, уравнение эллипса с полуосями a и b можно записать:

;

уравнение окружности радиуса R

;

единичной окружности:

;

уравнение окружности  с центром в точке  запишется так:

.

Задачи для упражнений

1) Построить в комплексной плоскости линии, точки которых удовлетворяют уравнениям:

а)    б)     в)    г)   д)     е)    ж) ;   з)

2) Построить на комплексной плоскости z области, заданные условиями:

а)                б)        в )

г)    д)

Указать, является ли каждая из этих областей открытой или замкнутой, ограниченной или нет, односвязной или многосвязной.

3) Какие кривые определяются следующими уравнениями:

а)     б)                           в) ;

г)            д)    е)

ж) .

Ответы:  а)    б)    в)    г)    д)

е)    ж)