2.2.5. Гармонические функции и их связь с аналитическими функциями

Пусть имеем аналитическую в области D функцию . Тогда она удовлетворяет условиям Даламбера-Эйлера:

Дифференцируя (а) по х, а (б) по у и складывая, получим:

.                                                          (2.36)

Дифференцируя (а) по у, а (б) по х и вычитая, будем иметь:

.                                                          (2.37)

Равенства (2.36) и (2.37) говорят о том, что функции  и , являющиеся соответственно действительной и мнимой частями аналитической функции  в некоторой области , в той же области являются решениями уравнения Лапласа ().

Определение. Функция, являющаяся решением уравнения Лапласа, называется гармонической функцией.

Таким образом, мы доказали, что действительная  и мнимая  части аналитической функции  являются гармоническими.

Это не значит, что если  и  есть произвольно выбранные гармонические функции, то  – аналитическая, так как условия (2.31) не всегда будут выполняться.

Возникает задача построения аналитической функции  по заданию одной из гармонических функций  или .

Для решения задачи, задав, например,  мнимую часть найдем, используя условия (2.31).

Две гармонические функции, удовлетворяющие условиям (2.31) и, следовательно, являющиеся действительной и мнимой частями некоторой аналитической функции  называются сопряженной парой гармонических функций.

Отметим, что функция  определяется с точностью до постоянного слагаемого. Для определения постоянной задают дополнительные условия в виде значения функции в фиксированной точке.

Пример

Построить аналитическую функцию , если известно, что ее действительная часть .

Решение. Проверим сначала, что  гармоническая на всей плоскости функция:

.

Из  условий (2.31) найдем гармонически сопряженную ей функцию :

.

Проинтегрируем первое уравнение по у, считая х постоянным, получим:

.

Используем второе условие:

,

найдем, что

,

откуда , где С – постоянная интегрирования.

Итак,

.

По условию задачи , значит, С=1, и мы имеем:

.

Задачи для упражнений

1) Проверить, выполняются ли условия Даламбера-Эйлера, и, если они выполняются, найти производные функций:   а) ; б) ; в) ; г) ; д) ; е) ; ж) ; з) ; и) .

2) Найти аналитическую функцию , если:

а)                                                  Ответ:

б)                                                   Ответ:

в)                                                    Ответ: .

г)                                           Ответ:

                                                                                    (у = 0, х £ 0 – исключается из области).

д)                                                   Ответ:

е) ,                                                   Ответ: .


ж) .                                             Ответ:

з) .                                                      Ответ:

и) ,                        Ответ:

                                                             *плоскость с разрезом: вдоль полуоси

                                                                   у = 0, х £ 0.

к) ,                                              Ответ:

                                                                                     .