2.2.6. Понятие конформного отображения

Если функция  – аналитическая в области , то осуществляемое ей отображение обладает свойствами:

1) любую область  из  функция  переводит в область  на плоскости    , причем граница области  переходит в границу области  с сохранением обхода. Это значит, что если точка z движется по границе так, что область  остается слева, то точка  движется по границе области  так, что  также остается слева;

2) всякая непрерывная кривая  из  отображается в непрерывную кривую  в ;

3) пусть  и кривые  и , выходящие из точки  перешли в кривые ¢ и ¢, выходящие из . Тогда угол между  и  в точке  равен углу между ¢ и ¢ в точке , причем относительно действительной оси этот угол повернулся на величину ;

4) пусть кривая , соединяющая точки  и z, в результате отображения функцией  перешла в кривую , соединяющую точки  и , тогда  не зависит от направления исходящей кривой .

Отображение, обладающее свойствами 3 и 4, т.е.


такое, при котором сохраняются углы (носит название консерватизма улов) и постоянства коэффициента растяжения (сжатия) называется конформным.

Вывод: аналитическая функция , для которой , осуществляет конформное отображение, причем ,  а  =, т.е. углу поворота лучей, выходящих из этой точки.

Пример 1

Какое отображение, осуществляется функцией ?

Решение: Найдем : , следовательно, функция аналитическая, и отображение этой функцией конформно во всей плоскости z с коэффициентом растяжения ρ=5 в любой точке. Так как , то направление при отображении не меняется.

Пример 2

Какое отображение, осуществляется функцией ?

Решение: Производная  в точке z=0 обращается в нуль . Поэтому отображение этой функцией конформно во всех точках плоскости z кроме z = 0. Так как arg w = 3 arg z, то получим  — лучи, выходящие из точки  z = 0 и образующие угол равный , отображающиеся соответственно в лучи arg w = 3  и  arg w = 3b, образующие между собой угол 3(ba). Следовательно, в точке z = 0 конформность нарушается: углы в этой точке не сохраняются, а утраиваются.

Пример 3

В каких точках нарушается конформность отображения ?

Решение: Найдем : . Приравняв ее нулю, найдем точки, в которых есть нарушения конформности: это точки z1 = 1  и  z2 = 3.