2.2.7. Основные элементарные функции

Рассмотрим некоторые элементарные функции. Важной является целая степенная функция , где n > 1. Эта функция целая, так как для любого z(z ¹ 0) существует производная . Эта производная отлична от нуля при z¹0. Функция отображает расширенную z-плоскость на расширенную w-плоскость: так как z = 0  и  z = ¥  переходят в w = 0  и w = ¥. Всякая точка w, отличная от нуля и бесконечности, имеет ровно n различных корней , содержащихся в формуле (2.13)

Следовательно, отображение  (n > 1) не является взаимно однозначным. К степенной функции прибегают каждый раз, когда нужно отобразить угол на угол раствором в n раз больше первого.

Пример 1

Отобразить взаимно однозначно и конформно внутренность угла D: на первую полуплоскость.

Решение: Так как D – угол раствора , а верхняя полуплоскость имеет угол раствора , то применим два последовательных отображения: , которое переводит D в полуплоскость D1: . Повернем D1 на угол  в положительном направлении, т.е. положим . Окончательно получим полуплоскость Jm w > 0. Итак искомое отображение: w = iz2.

Показательную и тригонометрические функции: ez, sin z, cos z в случае комплексных значений z Эйлер определил следующим образом.

Определение: Функции ez, sin z, cos z для всякого комплексного z  определяются рядами:

;                                                    (2.38)

;                                       (2.39)

                                         (2.40)

Эти функции аналитические во всей плоскости. Для упражнения примените признак Даламбера сходимости рядов, убедитесь, что эти ряды сходятся для любого z, т.е. радиус сходимости рядов R=¥. Чтобы сделать вывод об аналитичности  названных функций докажем теорему: сумма степенного ряда есть функция аналитическая внутри круга сходимости, причем производную ее можно найти почленным дифференцированием ряда.

Доказательство: Заметим, что сумма степенного ряда

                                               (2.41)

есть однозначная функция для |z|<R. Проверим выполнение условий Даламбера-Эйлера.

Для чего положим , n = 0, 1,…, z = r (cosj + isinj).

Тогда

Отсюда:

                                     (2.42)

Как известно [8], что условия существования производной в случае полярных координат имеют вид:

                                              (2.43)

где     f(z) = u(r,j) + iv(r,j),   а

.                                             (2.44)

Так,

                                         (2.45)

Видно, что условие  выполняется. Второе условие рекомендуется проверить самостоятельно.

Полученные ряды (2.45) равномерно сходятся по признаку Вейерштрасса.

С помощью формулы (2.44) легко вычислить производную (подставив значения  и ):

.

Следовательно, f(z) – функция аналитическая внутри круга сходимости на всей комплексной плоскости (R = ¥).

Согласно доказанной теореме производные находятся почленным дифференцированием:

Свойства умножения степеней сохраняются (как было в вещественном анализе). Так, для любых количеств комплексных z1 и z2

.                                                        (2.46)

По определению:

Ряды эти, как степенные, внутри круга сходимости сходятся абсолютно, значит, их можно перемножать:

.

Из формулы Эйлера следуют равенства:

.                                           (2.47)

С помощью формулы Эйлера и правила умножения степеней проверяются известные тригонометрические формулы, которые верны и для комплексных z. Например:

;

.

Гиперболические функции вводятся по определению:

.                                                (2.48)

Легко устанавливается связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями. Имеем:

                        (2.49)

Методическое руководство

При вычислении значений , sin z, cos z, sh z, ch z для любого z использование рядов нецелесообразно.

Пример 2

Пример 3

Функция ez в области комплексного переменного обладает новым свойством, а именно: функция ezпериодическая с периодом 2pi.

В самом деле,

.

Показательная функция – функция аналитическая во всей плоскости z. Так:

.

Отсюда

.

Условия Даламбера-Эйлера выполняются (проверьте) всюду на плоскости z. Так как нигде , то отображение, осуществляемое показательной функцией, конформно во всей плоскости z.

Покажем, что w = ez точки прямой y = h, параллельной оси Ох, взаимно однозначно отображются в точки луча, выходящего из начала координат под углом h к положительному направлению действительной оси (рис. 2.13).

Так, если y = h, то z = x + iy, причем вдоль y = h абсцисса х изменяется от -¥ до +¥. Значит, . Отсюда делаем вывод, что arg w = h остается постоянным, а |w| = ex  изменяется от e-¥ до e+¥, т.е. от 0 до ¥. Итак, когда z описывает прямую y = h, то w описывает луч arg w = h. Если в плоскости z взять полосу, параллельную оси х то y = h1 до y = h2.

Функция w = ex эту полосу шириной h £ 2p, конформно отображает в угол с вершиной в начале координат раствора h (h1< arg w < h2).


В частности, полоса шириной p отображается в полуплоскость, а полоса шириной 2p  – в плоскость с разрезом вдоль луча arg w = h1 . (рис. 2.14).

Определив показательную функцию, теперь легко дать определение логарифмической функции. Она определяется как функция, обратная показательной: число w называется логарифмом числа z, если и обозначается:

w = Ln z.

Найдем действительную и мнимую части логарифмической функции w = u + iv, z = x + iy. По определению:

.

Перейдем к показательной форме, получим:

,

откуда

1)

2)

Тем самым, получили формулу для логарифмической функции

Ln z = ln r+i(arg z + 2kp).                                                (2.50)

Из (2.50) видно, что логарифмическая функция определена во всей плоскости z, кроме z = 0 и является многозначной (k = 0, ±1,…).

Беря главное значение аргумента (k=0), получают однозначную ветвь логарифмической функции и обозначают:

Ln z = ln |z|+i arg z.                                                      (2.51)

Пример 1

Найти общее и главное значение логарифмов чисел:

а) -5;                 б) 4i;               в)  1+i;                      г) e.

Решение:

а) число -5 представим в тригонометрической форме: z = |-5| = 5;

arg(-5) = p, следовательно по формуле (2.50): Ln(-5) = ln5 + i(p + 2kp);

ln(-5) = ln5 + ip.

б) число 4i представим в тригонометрической форме: r = |4i| = 4; , тогда как и ранее

в) число 1+i: .

г) число е – вещественное, поэтому |e| = e, arg e = 0  и 

Ln e = ln e + i(0 + 2kp) = 1 + 2kp i;  ln e = 1.

Логарифмическая функция в  смысле главного значения – аналитическая во всей плоскости z, кроме точки  z  =0  и  z = ¥, а в плоскости с разрезом, соединяющим точки z = 0 и z = ¥, распадается на бесконечное число регулярных ветвей.

Пример 2

Пусть D0 – плоскость z с разрезом  по лучу (0; ¥). В этой области w = ln z распадается на регулярные ветви:

(ln z)k = ln|z| + i(arg z) k + 2kp i,   k = 0, ±1,…,

где       0 < (arg z) < 2p. Функция w = (ln z)k конформно отображает D0 на полосу 2kp < Jm w < 2(k+1) p.

Пример 3

Во что отображает функция w = ln z плоскость с разрезом   (-¥; 0) – вдоль отрицательной действительной оси?

Решение: Так как , то согласно определению функции, как обратной к показательной, функция w = ln z взаимно однозначно отображает плоскость с разрезом (-¥; 0) на полосу -p < v < p (рис. 2.15).

Пример 4

Сектор 0 < arg z < a£ 2p отобразить с помощью функции w = ln z из плоскости z на плоскость w.

Решение: Функция w = ez взаимно однозначно и конформно отображает полосу 0 < Jm z < a ширины a < 2p  на сектор: 0 < arg z < a. Следовательно, обратная функция z = ln w взаимно однозначно и конформно отображает сектор 0 < arg z < a на полосу 0 < Jm z<a (рис. 2.16).

Изучив логарифмическую функцию, можно ввести понятие степени комплексного числа с комплексным показателем. По определению логарифмической функции имеет место равенство:

                                                              (2.52)

для любого комплексного .

Следовательно, равенство

                                                           (2.53)

справедливо для любых комплексных  и z.

В силу многозначности логарифма  – многозначно. Его главным значением считаем то, которое соответствует .

Пример 5

Вычислить: а) ;                    б) 21+i;                       

а) .

б)

(k = 0, 1,…)

Задачи для упражнений

1) Найти:

а) ;   б) ;   в) ;   г) ;   д) ;   е) ;   ж) ;

з) ;     и) ;   к) ;     л) ;    м) .

Ответы: а) i; б) ei; в) ; г) ; д) ;

е) ; ж) ; з) ; и)  

к) ; л) ; м) .

2) Доказать тождества:

а) ;

б) .

3) Убедиться, что для функций w = cos2z  и  w = shz  выполняются условия Даламбера-Эйлера.

В курсе ТФКП и ее приложениях встречаются задачи, использующие обратные гиперболические функции [9]. Поэтому дадим возможность усвоения процесса перехода на двух примерах.

Пусть требуется получить выражение для обратной тригонометрической функции w = arcsin z. Эта функция определяется как функция, обратная к функции z =sin w. Последняя выражается через показательные, поэтому следует ожидать, что обратная тригонометрическая функция выражается через логарифмы:

,

откуда

.

Решив это квадратное уравнение относительно , получим:

откуда

;

.                                         (2.54)

Аналогично получим, если   (читается: «ареа»), т.е.

,       откуда .