2.2.   Свойства математических моделей

Из сказанного ранее следует, что при изучении реально существующего или мыслимого технического объекта математические методы применяют к его математической модели. Это применение будет эффективным, если свойства ММ удовлетворяют определенным требованиям:

1) универсальности.

2) точности.

3) адекватности.

4) экономичности.

Универсальность ММ характеризует полноту отражения в ней свойств реального объекта. Математическая модель отражает не все, а лишь некоторые свойства реального объекта. Например, формулы для сил резания (; ; ), не учитывают температуру окружающего воздуха, влажность, экономические параметры и т.д.

Известно, например, что закон Ньютона притяжения двух материальных точек и закон взаимодействия двух точечных электрических зарядов при соответствующем выборе единиц физических величин можно выразить одинаковыми формулами. При помощи одной и той же ММ, содержащей уравнение Пуассона:

,

где  – дифференциальный оператор Лапласа, а u(М) и f(М) – искомая и заданная функции положения точки М в некоторой области V (МV), можно изучать установившиеся процессы течения жидкости и распространения теплоты, распределение электрического потенциала, деформацию мембраны, механические напряжения при кручении бруса, фильтрацию нефти в нефтеносном слое или влаги в почве, распространение какой-либо примеси в воздухе или эпидемии в регионе. В каждой из перечисленных задач функции u(М) и f(М) приобретают свой смысл, но их связь описывает общее для этих задач уравнение.

Приведенные примеры характеризуют свойство универсальности. Благодаря этому свойству возникает «родство» между различными отраслями знаний, что ускоряет их совместное развитие.

Точность ММ дает возможность обеспечить приемлемое совпадение реальных и найденных при помощи ММ значений выходных параметров ТО, составляющих вектор:

.

Пусть  и  – найденное при помощи ММ и реальное значения i-го выходного параметра. Тогда относительная погрешность ММ по отношению к этому параметру будет равна:

В качестве скалярной оценки вектора

можно принять какую-либо его норму, например:

        или         .

Поскольку выходные параметры ТО при помощи ММ связаны с его внешними и внутренними параметрами, то ε, как количественная характеристика точности модели этого ТО, будет зависеть от координат векторов x и g.

Адекватность ММ – это способность ММ отражать характеристики ТО с относительной погрешностью не более некоторого заданного значения δ. Пусть при некоторых ожидаемых номинальных значениях внешних параметров ТО, составляющих вектор хном, из условия минимума ε путем решения задачи

конечномерной оптимизации найдены значения внутренних параметров, составляющие вектор gном и обеспечивающие минимальное значение εmin относительной погрешности ММ. Тогда при фиксированном векторе gном можно построить множество:

,

называемое областью адекватности данной ММ. Ясно, что X = 0 при δ < εmin, а чем больше заданное значение δ > εmin, тем шире область адекватности ММ, т.е. эта ММ применима в более широком диапазоне возможного изменения внешних параметров ТО.

В более общем смысле под адекватностью ММ понимают правильное качественное и достаточно точное количественное описание именно тех характеристик ТО, которые важны в данном конкретном случае.


Модель, адекватная при выборе одних характеристик, может быть неадекватной при выборе других характеристик того же технического объекта. В ряде прикладных областей, еще недостаточно подготовленных к применению количественных математических методов, ММ имеют главным образом качественный характер. Эта ситуация типична, например, для биологической и социальной сфер, в которых количественные закономерности не всегда поддаются строгой математической формализации. В таких случаях под адекватностью ММ естественно понимать лишь правильное качественное описание поведения изучаемых объектов или их систем.

Экономичность ММ оценивают затратами на вычислительные ресурсы (машинное время и память), необходимые для реализации математической модели на ЭВМ. Эти затраты зависят от числа арифметических операций при использовании модели, от размерности пространства фазовых переменных, от особенностей применяемой ЭВМ и других факторов. Так как указанные величины определяются характеристиками конкретного компьютера, то использовать их для оценки экономичности математической модели не корректно. Поэтому, для оценки экономичности самой математической модели используют другие величины:

· среднее количество операций, выполняемых при одном обращении к математической модели;

· размерность системы уравнений в математической модели;

· количество используемых в модели внутренних параметров и т.д.

Требования высокой степени универсальности, точности, широкой области адекватности математической модели, с одной стороны, и высокой ее экономичности, с

другой стороны, противоречивы. В зависимости от целей и условий эксперимента выбираются конкретные  решения.

К математическим моделям предъявляется и целый ряд других требований, среди которых следует выделить следующие:

· полнота;

· вычислимость;

· модульность;

· модульность;

· алгоритмизируемость;

· робастность;

· продуктивность;

· наглядность.

Полнота ММ позволяет отразить в достаточной мере именно те характеристики и особенности ТО, которые интересуют нас в зависимости от поставленной цели проведения вычислительного эксперимента. Например, модель может достаточно полно описывать протекающие в объекте процессы, но не отражать его габаритные, массовые или стоимостные показатели.

Вычислимость – это возможность ручного или с помощью ЭВМ исследования качественных и количественных закономерностей функционирования объекта (системы).

Модульность – это соответствие конструкций модели структурным составляющим объекта (системы).

Алгоритмизируемость – это возможность разработки соответствующих алгоритма и программы, реализующих математическую модель на ЭВМ.

Робастность (от английского слова robust – крепкий, устойчивый) характеризует ее устойчивость по отношению к погрешностям исходных данных, способность предугадывать эти погрешности и не допускать их чрезмерного влияния на результат вычислительного эксперимента. Причинами низкой робастности математической модели могут быть необходимость при ее количественном анализе вычитания близких друг к другу приближенных значений величин или деления на малую по модулю величину, а также использование в математической модели функций, быстро изменяющихся в промежутке, где значение аргумента известно с невысокой точностью. Иногда стремление увеличить полноту математической модели приводит к снижению

ее робастности вследствие введения дополнительных параметров, известных с невысокой точностью или входящих в слишком приближенные соотношения.

Продуктивность – это возможность располагать достаточно достоверными исходными данными. Если они являются результатом измерений, то точность их измерения должна быть выше, чем для тех параметров, которые получаются при использовании математической модели. В противном случае математическая модель будет непродуктивной, и ее применение для анализа конкретного процесса теряет смысл. Ее можно будет использовать лишь для оценки характеристик некоторого класса процессов с гипотетическими исходными данными.

Наглядность является ее желательным, но необязательным свойством. Тем не менее, использование математической модели и ее модификация упрощаются, если ее составляющие (например, отдельные члены уравнений) имеют ясный содержательный смысл. Это обычно позволяет ориентировочно предвидеть результаты вычислительного эксперимента и облегчает контроль их правильности.