Теорема Коши для многосвязной области: если w = f(z) аналитическая в замкнутой многосвязной области D, ограниченной замкнутыми контурами К, К₁,…,К_n, то интеграл, взятый по всей границе этой области, проходимой так, чтобы область оставалась слева, равен нулю, т.е. интеграл по внешнему контуру равен сумме интегралов по всем внутренним.

Доказательство. Проведем разрезы (рис. 2.19): p, q,…, m, n;  получим односвязную область. Применим теорему Коши для односвязной области, получим:

.

По свойству аддитивности имеем:

                                           (2.68)

Следствие. Интеграл по любому замкнутому контуру, содержащему только одну особую точку функции, имеет одно и то же значение.

Так, пусть z₀ – особая точка f(z) и пусть К₁ и К₂ – два произвольных контура (рис. 2.20), содержащих z₀ внутри себя. Тогда функция f(z) – аналитическая в двухсвязной области, следовательно: .