2.3.7. Иерархия математических моделей

При математическом моделировании достаточно сложного технического объекта описать его поведение одной математической моделью, как правило, не удается, а если такая ММ и была бы построена, то она оказалась бы слишком сложной для количественного анализа. Поэтому к таким ТО обычно применяют принцип декомпозиции. Он состоит в условном разбиении ТО на отдельные более простые блоки и элементы, допускающие их независимое исследование с последующим учетом взаимного влияния блоков и элементов друг на друга. В свою очередь, принцип декомпозиции можно применить и к каждому выделенному блоку вплоть до уровня достаточно простых элементов. В таком случае возникает иерархия ММ связанных между собой блоков и элементов.

Иерархические уровни выделяют и для отдельных типов ММ. Например, среди структурных математических моделей ТО к более высокому уровню иерархии относят топологические математические модели, а к более низкому уровню, характеризующемуся большей детализацией ТО, – геометрические математические модели.

Среди функциональных математических моделей иерархические уровни отражают степень детализации описания процессов, протекающих в ТО, его блоках или элементах. С этой точки зрения обычно выделяют три основных уровня: микро-, макро- и метауровень.

Математические модели микроуровня описывают процессы в системах с распределенными параметрами (в континуальных системах), а математические модели макроуровня – в системах с сосредоточенными параметрами (в дискретных системах). В первых из них фазовые переменные могут зависеть как от времени, так и от пространственных координат, а во вторых – только от времени.

Если в ММ макроуровня число фазовых переменных имеет порядок 104 - 105, то количественный анализ такой ММ становится громоздким и требует значительных затрат вычислительных ресурсов. Кроме того, при столь большом числе фазовых

переменных трудно выделить существенные характеристики ТО и особенности его поведения. В таком случае путем объединения и укрупнения элементов сложного ТО стремятся уменьшить число фазовых переменных за счет исключения из рассмотрения внутренних параметров элементов, ограничиваясь лишь описанием взаимных связей между укрупненными элементами.


Такой подход характерен для математических моделей метауровня.

Математические модели метауровня обычно относят к высшему уровню иерархии, ММ макроуровня – к среднему, а ММ микроуровня – к низшему.

Математические модели микроуровня называют одномерной, двумерной или трехмерной, если искомые фазовые переменные зависят от одной, двух или трех пространственных координат соответственно. Два последних типа ММ объединяют в многомерные математические модели микроуровня. Одномерная ММ микроуровня, фазовые переменные в которой не зависят от времени, имеет представление в виде системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) с заданными граничными условиями (в простейшем случае одного фазового переменного такая ММ включает лишь одно ОДУ и граничные условия).

Иногда для сложных информационных систем удается перейти к дискретному представлению фазовых переменных. Тогда ММ метауровня становится системой логических соотношений (СЛС), описывающей процессы преобразования сигналов. Использование СЛС применительно к таким сложным ТО более экономично, чем описание изменения в электрических цепях информационной системы напряжений и токов как непрерывных функций времени при помощи ОДУ или их систем. К метауровню – также относят имитационные ММ и ММ массового обслуживания, описывающие функционирование сложных вычислительных и информационных систем, производственных участков, линий, цехов, предприятий и их объединений.

Математические модели на микроуровне производственного процесса отражают физические процессы, протекающие, например, при резании металлов. Они описывают процессы на уровне перехода (прохода).

Математические модели на макроуровне производственного процесса описывают технологические процессы.

Математические модели на метауровне производственного процесса описывают технологические системы (участки, цехи, предприятие в целом).