2.4.1. Изолированные особые точки однозначного характера

Точка z0, в которой функция не аналитическая, называется особой точкой функции.

Пусть w= f(z) – аналитическая в окрестности точки z0. В этом случае точка z0 называется изолированной особой точкой функции w = f(z).

Различают три типа изолированных особых точек однозначной функции:

1) устранимую, когда существует конечный

;                                                          (2.81)

2) полюс К-го  порядка, если

.                                               (2.82)

Если    k = 1 – полюс простой или первого порядка функции. Из определения полюса следует, что ;

3) существенно особую, если она не является ни устранимой, ни полюсом (т.е.  не существует ни конечный, ни бесконечный).

Примеры особых точек:.

1)  – устранимая, так как

2)  – простой полюс, так как

3)  – полюс 2-го порядка, так как

4)  – существенно особая, так как не существует предел, если

устремить z ® 0 по разным путям, например, вдоль оси х справа и слева к нулю (проделайте это).

Задачи для упражнений

1) Установить характер изолированных особых точек:

а)

б)

в)

г)

д)

е)

ж)

з)

и)

к)

л) w=tg z.

.

Ответы:

а) z = 2 – простой полюс;

ж)  – простые полюсы

б) , простые полюсы;

з) z = 1 – полюса второго порядка;

в)  – устранимая;

и) z = 0 – существенно особая точка;

г)  – простые полюсы;

к) полюс второго порядка;

д)  – полюса второго порядка;

л)  – простые полюсы;

д)  – полюса второго порядка;