Определение. Предикат Р(х₁, х₂, …, х_n), заданный на множествах М₁, М₂, …, М_n, называется:

1) тождественно-истинным, если при любой подстановке вместо переменных х₁, х₂, …, х_n любых конкретных предметов а₁, а₂, …, а_n из множеств М₁, М₂, …, М_n соответственно он превращается в истинное высказывание Р(а₁, а₂, …, а_n);

2) тождественно-ложным, если при любой подстановке вместо переменных х₁, х₂, …, х_n любых конкретных предметов из множеств М₁, М₂, …, М_n соответственно он превращается в ложное высказывание;

3) выполнимым (опровержимым), если существует, по крайней мере, один набор конкретных предметов, при подстановке которого вместо соответствующих переменных в предикат, последний обращается в истинное (ложное) высказывание.

С точки зрения множества истинности предиката истинны следующее утверждение.

Утверждение.

1) Если предикат Р(х₁, х₂, …, х_n), заданный на множествах М₁, М₂, …, М_n, является тождественно-истинным, то его множество истинности Р⁺ = М₁  М₂ … М_n.

2) Если пр дикат Р(х₁, х₂, …, х_n), заданный на множествах М₁, М₂, …, М_n, является тождественно-ложным, то его множество истинности Р⁺ =.

3) Если предикат Р(х₁, х₂, …, х_n), заданный на множествах М₁, М₂, …, М_n, является выполнимым, то его множество истинности Р⁺.

4) Если предикат Р(х₁, х₂, …, х_n), заданный на множествах М₁, М₂, …, М_n, является опровержимым, то его множество истинности Р⁺  М₁  М₂ … М_n.

Определение. Два n-местных предиката Р(х₁, х₂, …, х_n) и Q(х₁, х₂, …, х_n), заданных над одними и теми же  множествами М₁, М₂, …, М_n, называются равносильными, если набор элементов  превращает первый предикат в истинное высказывание Р(а₁, а₂, …, а_n) в том и только в том случае, когда этот набор превращает  в истинное высказывание Q(а₁, а₂, …, а_n) второй предикат.

Утверждение о равносильности двух предикатов P и Q символически будем записывать так: P  Q.

Предположим необходимо решить уравнение (или, другими словами, найти множество истинности предиката): 4х – 2 = -3х – 9.

Решение.

Делая равносильные преобразования, найдем множество истинности предиката:

4х – 2 = -3х – 9 4х + 3х = -9 + 2  х = -1.

Определение. Предикат Q(х₁, х₂, …, х_n), заданный над множествами М₁, М₂, …, М_n, называется следствием предиката Р(х₁, х₂, …, х_n), заданного над теми же множествами, если он превращается в истинное высказывание на всех наборах значений предметных переменных на соответствующих множествах, на которых в истинное высказывание превращается предикат Q(х₁, х₂, …, х_n).

Другими словами (в терминах множеств истинности), можно сказать, что предикат Q является следствием предиката Р тогда и только тогда, когда Р⁺  Q⁺.

Теорема. Каждые два тождественно истинных (тождественно ложных) предиката, заданных на одних и тех же множествах, равносильны. Обратно, всякий предикат, равносильный тождественно истинному (тождественно ложному) предикату, сам является тождественно истинным (тождественно ложным) предикатом.

Теорема. Каждый  тождественно истинный n-местный предикат является следствием любого другого  n-местного предиката, определенного на тех же множествах. Каждый n-местный предикат является следствием любого тождественно ложного n-местного предиката, определенного на тех же множествах.