2.4.3. Логические операции над предикатами

Над предикатами можно проделывать те же самые логические операции, что и над высказываниями. Рассмотрим основные три операции в их связи с операциями над множествами.

Определение. Отрицанием n – местного предиката Р(х1, х2, …, хn), определенного на множествах М1, М2, …, Мn, называется новый n-местный предикат, определенный на тех же множествах, обозначаемый Р(х1, х2, …, хn), который превращается в истинное высказывание при всех тех значениях  предметных переменных, при которых исходный предикат  превращается в ложное высказывание.

Теорема. Для n-местного предиката Р(х1, х2, …, хn), определенного на множествах  М1, М2, …, Мn, множество истинности его отрицания Р(х1, х2, …, хn) совпадает с его дополнением множества истинности данного предиката:

 или .

Определение. Конъюнкцией  n – местного предиката Р(х1, х2, …, хn), определенного на множествах М1, М2, …, Мn, и т-местного предиката Q(у1, у2, …, ут), определенного на множествах N1, N2, …, Nm, называется новый (n + m)-местный предикат, определенный на множествах М1, М2, …, Мn, N1, N2, …, Nm, обозначаемый Р(х1, х2, …, хn) Q(у1, у2, …, ут), который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных переменных, при которых оба исходных предиката превращаются в истинные высказывания.

Теорема.


Для 
n-местных предикатов Р(х1, х2, …, хn) и Q(х1, х2, …, хn), определенных на множествах М1, М2, …, Мn, множество истинности конъюнкции Р(х1, х2, …, хn)  Q(х1, х2, …, хn) совпадает с пересечением множеств истинности исходных предикатов:

.

Определение. Дизъюнкцией  n – местного предиката Р(х1, х2, …, хn), определенного на множествах М1, М2, …, Мn, и т-местного предиката Q(у1, у2, …, ут), определенного на множествах N1, N2, …, Nm, называется новый (n + m)-местный предикат, определенный на множествах М1, М2, …, Мn, N1, N2, …, Nm, обозначаемый Р(х1, х2, …, хn) Q(у1, у2, …, ут), который превращается в истинное высказывание при всех тех и только тех значениях предметных переменных, при которых в истинное высказывание превращается по меньшей мере один исходный предикат.

Теорема. Для  n-местных предикатов Р(х1, х2, …, хn) и Q(х1, х2, …, хn), определенных на множествах М1, М2, …, Мn, множество истинности дизъюнкции Р(х1, х2, …, хn)  Q(х1, х2, …, хn) совпадает с объединением множеств истинности исходных предикатов:

.