2.5.2. Разложение аналитической функции в ряд Тейлора

Используя интегральную формулу Коши, покажем, что всякую аналитическую функцию в круге сходимости можно представить в виде суммы степенного ряда.

Теорема. Пусть функция  – аналитическая в области D. Если   и R – расстояние z0 до границы области D, то в круге  она разлагается в ряд Тейлора.

Пусть ; рассмотрим круг  (рис. 2.27).

Если Кr1– граница круга, то

.                      (2.98)

Разложим  в ряд по степеням z-z0:

,

тогда

.                                           (2.99)

При фиксированном z ряд (2.99) равномерно сходится относительно , так как

,

а мажорантный ряд  также сходится. Следовательно, ряд (2.99) можно интегрировать почленно:

.          (2.100)

Из (2.100) видно, что коэффициенты ряда

                                              (2.101)

и не зависят от контура интегрирования. Поэтому интеграл в (2.101) берут по контуру Кr.

Вывод: показали, что f(z) является суммой степенного ряда (Тейлора) в круге :

с коэффициентами:

.                                     (2.102)

Методическое руководство

1) Если известны особые точки , то радиус сходимости ряда Тейлора можно найти так. Особые точки функции являются граничными для области ее аналитичности. Согласно теореме радиус сходимости ряда Тейлора не меньше, чем расстояние от точки z0 до ближайшей особой точки функции.

2) Имеет место свойство единственности разложения функции в ряд Тейлора. Это значит, что каким бы методом мы ни разлагали функцию в ряд Тейлора он единственный. Поэтому коэффициенты  не обязательно находить по формуле (2.102).

Пример 1

Найти первые три члена разложения функции  по степеням z + i и определить радиус сходимости ряда.


Решение. По условию должны записать ряд (z0 = – i):

Найдем последовательно

;

.

Тогда

.

Найдем особые точки данной функции, для чего знаменатель приравняем нулю (cos z = 0).

Отсюда  – особые точки. 

Для нахождения радиуса сходимости определим расстояние от точки  -i до ближайшей особой точки (их две)  (рис. 2.28). По теореме Пифагора:

 – радиус сходимости ряда.

Пример 2

Разложить в ряд Тейлора функцию в окрестности точки z=0, не находя коэффициентов с помощью производных и применения формул (2.102)

Решение. Согласно свойства единственности, разложим cos z в ряд Маклорена и, проведя указанные действия, получим:

Задачи для упражнений

1) Найти три первых не равных нулю члена разложения функции  по степеням  и определить радиус сходимости ряда.

Ответ:

2) Найти несколько первых членов разложения по степеням z функции  и определить радиус сходимости ряда.

Ответ:  

3) Разложить в ряд Тейлора по степеням  функцию .

Ответ:   .

4) Разложить в ряд Тейлора по отношениям z функцию .

Ответ:   .

5) Разложить в ряд Тейлора функцию  в окрестности точки z0 = 0 (N = 1, 2,…) для N = 3.

Ответ:   .