2.5.3. Ряд Лорана и его область сходимости

Среди множества рядов, близких к степенным по своему строению и свойствам, являются ряды, расположенные по целым отрицательным степеням  z – z0:

                    2.103)

Сделаем замену  в (2.103), получим:

  .                                        (2.104)

Как известно радиус сходимости полученного ряда есть число R (2.90): если R = 0, то ряд (2.104) сходится в точке t = 0; если 0 < R < ¥ , то ряд сходится абсолютно в круге  и расходится вне его; если R = ¥, то ряд абсолютно сходится в любой конечной точке плоскости. В виду замены  следует, что если , то ряд (2.103) расходится в каждой конечной точке; если , то он абсолютно сходится при  и расходится при ; если , то ряд абсолютно сходится во всех точках плоскости, за исключением z = z0. Если считать, что ; тогда существует область сходимости ряда (2.103): , которую обозначим через G. Тогда как ряд (2.104) сходится равномерно на всяком замкнутом множестве в круге , и преобразование  переводит всякое замкнутое множество точек указанного круга в некоторое замкнутое множество точек области G. В этой области ряд (2.103) определяет функцию:

                     (2.105)

аналитическую во всех точках области G. В бесконечно удаленной точке g(z) принимает значение . Будем по определению называть функцию g(z) аналитической в бесконечно удаленной точке.

Следовательно, аналитичность функции в z=¥  характеризуется наличием в разложении ряда вида (2.105).

Определение. Ряд вида

,                                                       (2.106)

где       z0 – фиксированная точка комплексной плоскости, an – заданные комплексные числа, называется рядом Лорана . Этот ряд сходится в точке z, если в этой точке сходятся ряды:

 (правильная часть ряда Лорана)                 (2.107)

и

 (главная часть ряда Лорана),           (2.108)

а сумма  ряда (V.3.4) по определению равна сумме рядов (2.107) и (2.108), т.е. .

Теорема. Функцию, аналитическую в кольце , можно разложить в ряд по положительным и отрицательным степеням разности z – z0, сходящийся во всех точках кольца (2.106) или в развернутом виде:

         (2.109)

Для доказательства возьмем произвольную точку z внутри кольца  и проведем две концентрические окружности К1 и К2 так, чтобы z лежала между ними (рис. 2.29). Сделаем разрез mn. Получим контур LК1 + mn + К2 + nm,  который ограничивает односвязную  область D. Функция  аналитическая в области  (область D¢ обозначена штриховой линией). По интегральной формуле Коши:

По свойству аддитивности:

      (2.110)

Так как контур mn проходится в двух противоположных направлениях и подынтегральные выражения в интегралах совпадают, то интегралы, берущиеся по этим контурам, взаимно уничтожаются. Обход в третьем интеграле заменим на противоположный, из (2.110) получим:

                               (2.111)

В первом интеграле переменная zÎК1, а z находится внутри контура, поэтому , а дробь  разлагаем в ряд, представляющий сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем :

Следовательно,

                          (2.112)

Законность интегрирования ряда гарантируется построением мажорантного числового сходящегося ряда и признаком Вейерштрасса и сравнения. Поэтому

 .                             (2.113)

Обозначим

.                                       (2.114)

Окончательно:

                     (2.115)

Аналогично, во втором интеграле переменная zÎК2, а точка z лежит вне К2, поэтому , а дробь разлагается в ряд:

Интегрируя почленно ряд, получим:

.                      (2.116)

Обозначив

                            (2.117)

получим:

                (2.118)

Равенства (2.111), (2.115), (2.118) дают разложение (2.109).

Формулы для коэффициентов ряда Лорана объединяем в одну:

,                                 (2.119)

где К – произвольная кривая кольца .

Методические замечания

а) Имеет место свойство единственности разложения в ряд Лорана. Это значит, что каким бы способом ни разлагали, ряд Лорана будет одним и тем же.

б) Для нахождения коэффициентов ряда Лорана редко пользуются формулой (2.119).


Функцию , аналитическую в кольце , представляют в виде суммы или произведения двух функций (если это возможно): или , из которых одна, например,  аналитическая внутри большого круга , другая –  – вне меньшего круга . Первую разлагают по

положительным, а вторую по отрицательным степеням разности . Результаты остается сложить или перемножить.

Пример 1

Разложить  по степеням z в ряд Лорана в кольце .

Решение. Функция  – аналитическая в кольце . Имеет две особые точки:  z = 1 и z = 2. Разобьем функцию на сумму двух, из которых одна – аналитическая в круге . Для этого разложим данную дробь на сумму простейших, найдем:

.

Дробь  разложим в круге  по положительным степеням z:

.

Дробь  разложим в круге :

.

Следовательно,

 

Пример 2

Разложить  по положительным и отрицательным степеням z в кольце .

Решение. Для конечного z ¹ 0 имеем:

.

Перемножим выражения в правой части уравнения, найдем, что коэффициенты  при и  при  одинаковы:

.

Пример 3

Разложить ряд Лорана функцию  по степеням z в окрестности:

а)  z=0; б) .

Решение

а) Выполним тождественные преобразование, которое приводит к использованию суммы членов бесконечно убывающей прогрессии:

.

Поскольку , то

.

Разложение содержит только правильную часть. Из  следует, что область сходимости ряда есть круг .

б) Выполним тождественное преобразование с той же целью как в предыдущем примере:

.

Видно, что в окрестности  выполняется неравенство . Следовательно, функция f(z) представима в виде ряда

.

Разложение не содержит правильной части. Ряд сходится в области .

Пример 4

Разложить в ряд Лорана функцию  по степеням  z – 2.

Решение. Сделаем замену z – 2 = t. Тогда

Возвращаясь к старой переменной z, получим:

Главная часть содержит два члена; правильная часть – три. Имеем многочлен. Следовательно, разложение верно для всех z, кроме z = 2.

Пример 5

Функцию  разложить в ряд Лорана в окрестности точки z = 0.

Решение. Используем известное разложение

.

Тогда ряд Лорана для данной функции в окрестности точки z = 0 будет:

Главная часть есть

,

а правильная часть равна

.

Пример 6

Разложить в ряд Лорана функцию  в окрестности особой точки.

Решение. Особая точка функции есть z=0. В окрестности этой точки представляется рядом:

тогда

значит

Главная часть ряда содержит бесконечное число слагаемых, а правильная два.

Пример 7

Разложить функцию  в ряд Лорана.

Решение. Из курса элементарной алгебры известно правило деления расположенных многочленов. Если многочлены нацело не делятся, то алгоритм можно применять бесконечно, и в результате получится ряд. Деля многочлены «столбиком» получим:

.

Это есть ряд Лорана, который сходится в кольце 0<|z|<1, так как особые точки : z=0, z=i, z=-i, и функция аналитическая в указанном кольце.

Пример 8

Разложить  в ряд Лорана.

Решение. Аналогично предыдущему примеру, после деления многочленов, получим:

Ряд сходится в кольце , так как особые точки функции находятся в точках , модуль каждого из этих чисел равен единице.