2.5.4. Классификация изолированных особых точек однозначного характера

Определение 1. Особая точка z0 называется изолированной однозначного характера, если около нее можно взять достаточно малую окрестность, что, выбросив из нее одну точку z0, получим двусвязную область, в которой функция аналитическая.

Например, для функции  точки  – изолированные особые точки, так как в окрестности каждой из них функция аналитическая. Не то будет, если взять точку z=0. Какой бы малый радиус окрестности ни взять, в нее попадут точки разрыва  при достаточно большом k. Значит, особая точка z = 0 не будет изолированной.

Определение 2. Изолированная особая точка однозначного характера называется:

а) устранимой, если главная часть отсутствует;

б) полюсом, если главная часть содержит конечное число членов;

в) существенно особой точкой, если главная часть содержит бесконечное число слагаемых.

Порядком полюса называется число n, когда n есть низшая отрицательная степень разности zz0 в главной части разложения функции.

Пример 1

. Особая точка z = 0, так как

.

Следовательно, точка z = 0 – устранимая.

Пример 2

z = 0 – особая, так как

Следовательно, z  =0 – существенно особая точка функции.

Пример 3

,  z = 0 – особая, так как

Значит z = 0 – полюс первого порядка.