2.5. Метод Ньютона

1. Пусть известен отрезок [a, b], который содержит один корень уравненияf(x) = 0. Функция  f(x)  является  дважды  непрерывно дифференцируемой на отрезке [a, b] (f(x) Î C2[a, b]). Функция f принимает на концах отрезка [a, b] значения разных знаков (f(a)×f(b) <0). Первая и вторая производные функции f не обращаются в ноль на отрезке [a, b] (f  ¢  ¹ 0, ¢¢ ¹ 0). При выполнении этих условий для уточнения корня можно использовать метод Ньютона

2. Формула метода:   .

3. Точка x0 – начальное приближение – выбирается из условия: f(x0)×f ¢¢ (x) > 0. В качестве x0 выбирается, как правило, один из концов отрезка [a, b]:

если f(a)×f ¢¢ (x) > 0,     то x0 = a;

если f(b)×f ¢¢ (x) > 0,     то x0 = b.

Отметим, что, так как f ¢¢ (x) не меняет знак на отрезке [a, b] и f(a)×f(b) < 0, то на отрезке [a, b] выполнено только одно из предыдущих условий: либо f(a)×f ¢¢ (x) > 0, либо f(b)×f ¢¢ (x) > 0.

При выполнении этих условий последовательность {xn} сходится к точному значению корня на отрезке [a, b].

4. Для метода Ньютона известны несколько условий остановки итерационного процесса. Рассмотрим одно из них: , где  . При выполнении этого условия xn+1 является приближенным значением корня уравнения  на отрезке [a, b], найденным методом Ньютона с точностью e. Условие остановки итерационного процесса вытекает из оценки погрешности для метода Ньютона: .

При программной реализации метода Ньютона, как правило, для остановки итерационного процесса требуется выполнение одновременно двух условий:

    и          .

Пример

Построить алгоритм для уточнения коря уравнения x3 + 3x – 1 = 0 на отрезке [0,1] методом Ньютона с точностью e.

Решение

1.


Отрезок [0, 1] содержит один корень уравнения f(x) = 0. Функция f(x) является дважды непрерывно дифференцируемой на отрезке [0, 1] (f(x) Î C2[0, 1]). Функция f принимает на концах отрезка [0, 1] значения разных знаков. Первая производная функция f не обращаются в ноль на отрезке. То есть:

Вторая производная f обращается в ноль на отрезке [0, 1]. В таких случаях рекомендуется уменьшить отрезок [a, b] таким образом, чтобы уменьшенный отрезок содержал корень уравнения, и для этого отрезка выполнялись все условия.

Рассмотрим отрезок  [0.1, 1].  Этот  отрезок  содержит  один  корень уравнения f(x) = 0 и для него выполняются все условия для функции f(x).

2. Формула метода:

.

3.f(1) f ¢¢(x) > 0, начальное приближение  x0 = 1.

Рис. 2.6. Геометрический смысл метода Ньютона

4. Условие остановки итерационного процесса:

.

Число xn+1, для которого выполняется условие остановки, является приближенным значением корня уравнения на отрезке [0.1, 1], найденным методом Ньютона с точностью e. На рис. 2.6. иллюстрируется применение метода Ньютона. В рассматриваемом случае начальное приближение x0 = b. Метод Ньютона называют также методом касательных.