2.9. Примеры решения задач

Задача 1

Отделить корни уравнения  x3 + 5x – 8 = 0 и построить алгоритм для уточнения одного из них методом простой итерации с точностью ε.

Решение

Отделение корней

Запишем f(x) = 0 в виде: x3 = -5x + 8 и построим графики:    y = x3 и y = -5x + 8. Отрезок [1,2] содержит один корень уравнения (рис. 2.9).

Уточнение корня на отрезке [1,2].

1. Отрезок [1,2] содержит один корень уравнения  f(x) = 0. Функция f является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке().

Рис. 2.9. Отделение корней

2. Рассмотрим несколько функций φ(x):

а) x3 + 5 x- 8 = 0, отсюда.

.

j1¢(x) = -0.6 x2, отсюда .

Следовательно, φ1(x) – неудачный выбор.

б) , отсюда  и .

.

Функция φ2(x) не является непрерывно дифференцируемой на отрезке [1,2].

 .

φ2(x) – неудачный выбор.

в), следовательно, .

, следовательно, ,

.

φ3(x) является непрерывно дифференцируемой на [1,2].

;   .

φ3(x) переводит отрезок [1, 2] в себя. Функция φ3(x) сначала возрастает на отрезке   , достигает максимума при , а затем убывает.

φ3(x) возрастает от   до , убывает от  до . Область изменения φ3(x) полностью принадлежит ее области определения, следовательно, функция φ3(x) переводит отрезок [1,2] в себя.

Выполнены все условия для функции φ(x), следовательно, .

3. Начальное приближение: x0 = 1.

4. Условие остановки итерационного процесса:

,                  .

Число xn+1 , для которого выполняется условие остановки итерационного процесса, является приближенным значением корня уравнения, полученным методом простой итерации с точностью ε.

Задача 2

Отделить корни уравнения      x3 – 3x2 + 4x – 1 = 0 и построить алгоритм для уточнения одного из них методом Ньютона с точностью ε.

Решение

Отделение корней

, отсюда .

Отрезок [0,1] содержит один корень уравнения (рис. 2.10).

Уточнение корня

Проверим условия для функции

 ,                      ,           .

Необходимо уменьшить отрезок [0,1] таким образом, чтобы уменьшенный отрезок содержал корень уравнения, и при этом выполнялись все условия для функции f(x).

Рассмотрим отрезок [0,0.9]:

,        , ,.

Рис. 2.10. Отделение корня

Отрезок [0,0.9] содержит один корень уравнения, и для него выполняются все условия для функции f(x). Функция f является дважды непрерывно дифференцируемой на этом отрезке, на концах отрезка принимает значения разных знаков, первая и вторая производные функции f не обращаются в ноль на этом отрезке.

2. Формула метода:.

3. Начальное приближение:

, следовательно, .

4. Условие остановки итерационного процесса:

, где   .

При выполнении этого условия xn+1 является приближенным значением корня уравнения, полученным методом Ньютона с точностью ε.


Задача 3

Отделить корни уравнения: 2x  + 3x – 2 = 0 и построить алгоритм для уточнения одного из них методом хорд с точностью ε.

Решение

Отделение корней

, отсюда .

Отрезок [0,1] содержит один корень уравнения:   2x + 3x – 2 = 0 (рис. 2.11).

Уточнение корня

1. Отрезок [0,1] содержит один корень уравнения, функция f является дважды непрерывно дифференцируемой на этом отрезке, на концах отрезка принимает значения разных знаков, первая и вторая производные функции f не обращаются в ноль на этом отрезке:

Рис. 2.11. Отделение корня

,   ,

, .

2. Формула метода:

,

где d – неподвижная точка, , следовательно .

3. Так как d = 1, то начальное приближение x0  = 0.

4. Условие остановки итерационного процесса:

,    .

При выполнении этого условия xn+1 является приближенным значением  корня уравнения, полученным методом хорд с точностью ε.

Задача 4

Построить алгоритм  для вычисления  комбинированным методом хорд и касательных с точностью ε.

Решение

Отметим, что вычисление  с заданной точностью ε эквивалентно уточнению положительного корня следующего уравнения     x2 – a = 0.

1. x2 – 13 = 0. Положительный корень этого уравнения принадлежит отрезку [3,4]:

,                       ,         .

,       на отрезке [3,4].

Функция f является дважды непрерывно дифференцируемой на этом отрезке, на концах отрезка принимает значения разных знаков, первая и вторая производные функции f не обращаются в ноль на этом отрезке.

2. , следовательно, слева применяем метод хорд, а справа – метод Ньютона. Формулы метода:

,

.

3. Точки начального приближения: ,                       .

4. Условие остановки итерационного процесса:

.

При выполнении этого условия  является приближенным значением , полученным комбинированным методом хорд и касательных с точностью ε.

Задача 5

Известно, что отрезок [1, 2] содержит один корень уравнения: . Построим алгоритм для уточнения этого корня методом итераций с точностью e.

Решение

1. Отрезок [1, 2] содержит один корень уравнения: .

Функция f является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке (). Первая производная функции f не обращается в ноль на отрезке [1, 2].

 для x Î [1, 2].

2. Формула метода:.

 на отрезке [0, 1], следовательно, p > 0.

,             p = 8.

.

Проверим, что :

,

.

.

3. Начальное приближение: .

4. Условие остановки итерационного процесса:

,      q = 0.75.

Здесь , для которого выполняется условие остановки итерационного процесса, является приближенным значением корня уравнения, полученным методом итераций с точностью e.