3.1.1. Прямое преобразование Лапласа и формула обращения его

Операционное исчисление (символическое) свои истоки берет в методах символического исчисления Хевисайда. В наше время операционное исчисление считается признанным и широко применяется в различных областях науки и техники. В основе его используется преобразование Лапласа:

.                                                     (3.1)

Этот метод отличается простотой и эффективностью. Современный математический аппарат операционного исчисления позволяет решать задачи и исследовать переходные и периодические процессы в линейных и физических системах электротехники, автоматики, радиотехники, механики, описываемых системами линейных дифференциальных уравнений и уравнений с частными производными, дифференциально-разностными уравнениями, линейными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами и интегральными уравнениями. Большая универсальность метода позволяет эффективно получать решения наиболее простыми и экономными путями и средствами.

Здесь будут изложены необходимые сведения из операционного исчисления, разобраны примеры и задачи для закрепления теоретического материала, касающегося дифференциальных уравнений и их систем. Для лиц, желающих углубить познания, приводится список литературы.

Преобразование Лапласа (3.1) представляет собой линейное интегральное преобразование некоторой действительной функции  действительного переменного t  в функцию  комплексного переменного .

Функция , которая стоит под знаком интеграла в (3.1) называется оригиналом, а функция  – ее изображением.

Оригинал должен удовлетворять условиям:

1)  – однозначная, непрерывная или кусочно-непрерывная вместе со своими производными при t ³ 0;

2)  – растет не быстрее, чем некоторая показательная функция, что означает существование постоянных, независящих от t, при которых ;

3) .

Множество функций-оригиналов будем обозначать D,  т.е.  f(t) Î D.

Интеграл Лапласа (3.1), называемый часто прямым преобразованием Лапласа  функции  – несобственный. Он равномерно и абсолютно сходится, если  есть оригинал. Это подтверждает теорема: для всякого оригинала  изображение  определено в полуплоскости , где  есть показатель роста  и является в этой полуплоскости аналитической функцией.


Доказательство. Оценим интеграл (3.1):

                        (3.2)

Для любой полуплоскости , интеграл, являющийся результатом дифференцирования интеграла Лапласа по p, сходится равномерно, так как он не превосходит величины, не зависящей от p:

Отсюда, на основании известной теоремы [10] заключаем, что  в полуплоскости  имеет производную, следовательно, является аналитической функцией.

В плоскости комплексного переменного  прямая  называется осью сходимости, а  – абсциссой сходимости интеграла Лапласа (рис. 3.1). Интегрирование в правой части (3.1) происходит вдоль любой прямой, параллельной мнимой оси и расположенной на расстоянии  от нее, причем все особые точки функции  остаются слева от этой прямой.

Соответствие между изображением и оригиналом будем обозначать знаком   и записывать так:

F(p) f(t)    или   f(t) F(p).

Отметим, что острие стрелки всегда направлено к оригиналу. Условимся в дальнейшем обозначать через  оригиналы функций, а через  – соответствующие им изображения. Операцию получения изображения будем в необходимых случаях обозначать так: .

Во многих случаях бывает необходимо находить оригинал f(t) по его изображению, т.е. выполнять обратное преобразование или находить  обращение преобразования Лапласа.

Формула обращения, определяющая оригинал по известному его изображению F(p) записывается в виде:

                                                   (3.3)

Эта формула называется формулой Римана-Меллина или формулой обращения преобразования Лапласа.

Замечание. Помимо изображения по Лапласу (3.1) применятся также изображение функции по Карсону:

,                                                      (3.4)

отличающееся от преобразования Лапласа множителем р. В последнее время в технической литературе все чаще пользуются изображением по Лапласу. Это объясняется наличием наглядной связи между операторным методом и гармоническим анализом, вносящей физический смысл в понятие изображения. Изображение по Лапласу  – это спектральная функция по отношению к затухающей функции , для которой переменная  является частотой [11].