3.1.2. Основные свойства преобразования Лапласа

Изображения обладают рядом свойств, которые используются при решении задач или расчетов с помощью операционного исчисления.

1) Свойство линейности: изображение суммы (разности) конечного числа оригиналов, умноженных на постоянные числа, равно сумме (разности) изображения этих оригиналов, умноженных на те же постоянные числа:

.                                                  (3.5)

Доказательство. Это свойство вытекает из определения (3.1). Пусть , где . Полагая , будем иметь:

.

2) Всякое изображение F(p) функции f(t) при  стремится к нулю, т.е. .

Доказательство. Пусть f(t) – оригинал, тогда существуют числа М и , для которых

, тогда при  с учетом  (3.2) получим:  при , что и требовалось доказать.

Отсюда, в частности, следует, что константы, и многочлены от р с положительными степенями не могут быть изображениями.

3) Теорема единственности: если два изображения F(p) и Ф(р) совпадают, то совпадают между собой и их оригиналы во всех точках, за исключением, быть может, точек разрыва, т.е. если F(p)f(t) и   Ф(р)  и при этом то F(p) = Ф(р), то f(t) = φ(t) во всех точках непрерывности.

4) Теорема об аналитичности изображения: всякое изображение F(p) при Rep > σ0  – аналитическая функция, т.е.


может быть разложена в степенной ряд и, значит, неограниченное число раз дифференцируема и интегрируема в области сходимости ряда [10].

5) Свойство подобия: для всякой постоянной  а > 0  имеет место соотношение:

                                                        (3.6)

Доказательство: Найдем изображение f(at):

.

Положим at = τ, тогда (; при t = 0,   τ = 0, при )

.

Соотношение (3.6) приводит к соотношению:

.                                                     (3.7)

6) Свойство смещения: для любой постоянной а, имеет место соотношение:

                                         (3.8)

Доказательство. Изображение функции :

,

что и требовалось доказать.

Методическое руководство

1) По теореме подобия можно получать соответствия, не применяя непосредственного интегрирования по (3.1), а именно: если независимая переменная t в оригинале умножается на , то изображение и его аргумент делятся на ;

2) Свойство смещения указывает на то, что умножению оригиналов на  в области D, соответствует операция вычитания величины а от аргумента р.