3.2. Непрерывно-детерминированные модели (D–схемы)

Рассмотрим особенности непрерывно-детерминированного подхода на примере использования в качестве математических моделей дифференциальных уравнений. Дифференциальными уравнениями называются такие уравнения, в которых неизвестными будут функции одной или нескольких переменных, причем в уравнение входят не только функции, но и их производные различных порядков. Если неизвестные — функции многих переменных, то уравнения называются уравнениями в частных производных, в противном случае при рассмотрении функции только одной независимой переменной уравнения называются обыкновенными дифференциальными уравнениями.

Основные соотношения. Обычно в таких математических моделях в качестве независимой переменной, от которой зависят неизвестные искомые функции, служит время  t. Тогда математическое соотношение для детерминированных систем (3.6) в общем виде будет

                                             (3.7)

где  ,  и  — n-мерные векторы;   — вектор-функция, которая определена на некотором  (n + 1)-мерном   множестве и является непрерывной.

Так как математические схемы такого вида (3.7) отражают динамику изучаемой системы, т. е. ее поведение во времени, то они называются  D-схемами (англ. dynamic).

В простейшем случае обыкновенное дифференциальное уравнение имеет вид

.                                                          (3.8)

Наиболее важно приложение D-схем (3.7 – 3.8) в качестве математического аппарата в теории автоматического управления.

Возможные приложения. При решении задач системотехники важное значение имеют проблемы управления большими системами. Следует обратить внимание на системы автоматического управления — частный случай динамических систем, описываемых D-схемами и выделенных в отдельный класс моделей в силу их практической специфики.

Описывая процессы автоматического управления, придерживаются обычно представления реального объекта в виде двух систем: управляющей и управляемой  (объекта управления). Структура многомерной системы автоматического управления общего вида представлена на рис. 3.1, где обозначены эндогенные переменные — вектор входных (задающих) воздействий;   — вектор возмущающих воздействий;  — вектор сигналов ошибки;  — вектор управляющих воздействий; экзогенные переменные:  — вектор состояний системы  S;  — вектор выходных переменных, обычно  .

Рис. 3.1

Современная управляющая система – это совокупность программно-технических средств, обеспечивающих достижение объектом управления определенной цели. Насколько точно объект управления достигает заданной цели, можно судить для одномерной системы по координате состояния  y(t). Разность между заданным  yзад(t)  и действительным  y(t)  законами изменения управляемой величины есть ошибка управления  . Если предписанный закон изменения управляемой величины соответствует закону изменения входного (задающего) воздействия, т.е.  , то  .

Системы, для которых ошибки управления   во все моменты времени, называются идеальными.


На практике реализация идеальных систем невозможна.  Таким образом, ошибка  — необходимый субстрат автоматического управления, основанного на принципе отрицательной обратной связи, так как для приведения в соответствие выходной переменной y(t) ее заданному значению используется информация об отклонении между ними. Задачей системы автоматического управления является изменение переменной y(t) согласно заданному закону с определенной точностью (с допустимой ошибкой). При проектировании и эксплуатации систем автоматического управления необходимо выбрать такие параметры системы  S, которые обеспечили бы требуемую точность управления, а также устойчивость системы в переходном процессе.  

Если система устойчива, то представляют практический интерес поведение системы во времени, максимальное отклонение регулируемой переменной y(t) в переходном процессе, время переходного процесса и т. п. Выводы о свойствах систем автоматического управления различных классов можно сделать по виду дифференциальных уравнений, приближенно описывающих процессы в системах. Порядок дифференциального уравнения и значения его коэффициентов полностью определяются статическими и динамическими параметрами системы S.

Пример 3.1. Рассмотрим одноканальную систему автоматического управления SA, которая описывается  D-схемой  общего вида       

,                                         (3.9)

где   хm  и  yn  — производные по времени  m-го  и  n-го  порядков от функций  х  и  у  соответственно. Пусть система SA, описываемая уравнением (3.9), работает в некотором

режиме, характеризуемом функциями х0(t) и y0(t). Обозначим малые отклонения  x(t)  от  х0(t) через , а y(t)  от  y0(t)  через , т.е. .

Тогда уравнение (3.9) можно линеаризовать, разложив функцию   в ряд Тейлора и ограничившись его линейными членами относительно приращений     и  , т. е.     

                              (3.10)

Так как полученное уравнение (3.10) приближенно описывает рассматриваемый процесс, то производные вычисляют при некоторых фиксированных значениях входящих в него переменных, т. е. получается система с постоянными коэффициентами. Кроме того, уравнения получаются линейными относительно ,  и их производных. Это весьма существенно, так как методы решения и исследования линейных систем значительно проще, чем систем общего вида, и более детально разработаны.

Таким образом, для линейных систем автоматического управления, т. е. для систем, описываемых линейными дифференциальными уравнениями, можно записать

.               (3.11)

В уравнении (3.11) для простоты предполагается, что точки приложения возмущающих воздействий совпадают с входом системы. Для решения (3.11) можно, например, заменить дифференциальное уравнение алгебраическим.

Таким образом, использование D-схем, позволяет формализовать процесс функционирования непрерывно-детерминированных систем  S  и оценить их основные характеристики, применяя аналитический или имитационный подход.