3.2. Решение обыкновенных линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и их систем

Применение операционного исчисления к решению конкретных задач укладывается в общую схему. Пусть требуется найти результат , для получения которого (без применения операционного метода) надо над заданной функцией f(t) выполнить какую-то операцию А.

Применяя операционный метод, сначала переходят от оригинала f(t) к его изображению F(p); затем над изображением выполняют операцию В, соответствующую в операционном методе операции А. Например, умножают изображение на p вместо дифференцирования f(t), получают промежуточный результат – новое изображение Ф(р); наконец, переходят от изображения Ф(р) к искомому оригиналу .

Итак, общая схема решения задачи удлиняется. Однако при этом получается значительный выигрыш как в средствах вычислений, так и во времени. Этот выигрыш достигается путем широкого использования основных теорем метода, его свойств, таблиц соответствий, введенияначальных условий в состав изображений производных, результатов ТФКП.

Линейные дифференциальные уравнения составляют наиболее разработанную часть теории дифференциальных уравнений. Дифференциальные уравнения описывают реальные процессы, что делает их ценными для многочисленных приложений[12]. Здесь рассмотрим решения линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Суть в том, что эти уравнения имеют первостепенное значение при изучении механических и электрических систем, основные параметры которых (сопротивление, индуктивность, моменты инерции и т.д.) не зависят от времени, а также токов, напряжений, перемещений и т.п.

Операторный метод задачу интегрирования дифференциального уравнения сводит к алгебраической задаче, что намного упрощает дело. Приведем алгоритм решения (рис. 3.5)  дифференциальных уравнений операционным методом [13]. Покажем действие алгоритма на примерах.

Пример 1

Найти частное решение уравнения , удовлетворяющее начальному условию .

Решение. Найдем изображающее уравнение У(р) (изображение искомого решения ). Пусть У(р), тогда

 

На основании теоремы единственности получим алгебраическое уравнение относительно У(р), в котором учтено начальное условие:

Решаем это алгебраическое уравнение относительно У(р):

.

Определяем оригинал y(t) – частное решение (решение задачи Коши [14]) по таблице соответствий (табл. 3.1):

.

Рекомендуется делать неполную проверку, а именно: при t = 0 должно быть y(0) = 1, что имеет место.

Пример 2

Решить уравнение ,   y(0) = 1,   .

Решение. По алгоритму (рис. 3.5) получим:

или     .

Отсюда

.

Пользуясь теоремой свертывания, найдем оригинал для второго слагаемого:

1; ;

и                                   

Переходя от изображений к оригиналам, окончательно получим:

Пример 3

Найти частное решение уравнения , удовлетворяющего начальным условиям y(0) = 1,   y’(0) = -1.

Решение. Согласно  (рис.


3.5) получим:

,

откуда

.

Корни знаменателя:

Применяя вторую теорему разложения (3.36), получим:

.

Как отмечалось ранее, можно правильную рациональную дробь разложить на сумму простейших дробей:

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях р, получим систему уравнений:

решая которую, находим:  (проверьте). Следовательно,

.

Используя свойство линейности (3.5) и таблицу соответствий (табл. 3.1) получим:

Методическое указание

Так же выполняется решение систем обыкновенных линейных уравнений. Системы преобразуются к системам алгебраических линейных уравнений, относительно изображений искомых функций. Оригиналы этих решений находят как обычно, используя свойства метода или таблицы соответствий. Покажем это на примере.

Пример 4

Решить систему уравнений:

Решение. Пусть: x(t)X(p), y(t) У(p), z(t) Z(p). Применив к каждому уравнению преобразование Лапласа (3.1) и, учтя начальные условия, получим систему алгебраических линейных уравнений относительно изображений искомых функций:

Решим её по правилу Крамера:

Или

По таблице соответствий (табл. 3.1) окончательно получим:

Рекомендуется выполнить проверку самостоятельно.

Задачи для упражнений

1) Найти частные решения дифференциальных уравнений, удовлетворяющих заданным начальным условиям:

а)                                       Ответ: .

б)                                      Ответ: .

в)                                 Ответ: .

г)                                         Ответ:

д)                                Ответ: .

2) Решить систему дифференциальных уравнений:

а)

Ответ:

б)

Ответ:

в)

Ответ:

г)

Ответ:

д)

Ответ: