Пусть прямые l 1 и l 2 заданы каноническими уравнениями:

l 1: l 2: .

Направляющие векторы этих прямых соответственно будут:

Углом между прямыми называется угол между прямыми, проведенными параллельно данным через какую-нибудь точку пространства. Один из смежных углов, очевидно, будет равен углу между направлявшими векторами, который вычисляется по формуле (2.4):

Условия параллельности и перпендикулярности прямых совпадают, соответственно с условиями параллельности или перпендикулярности векторов.Чтобы определить взаимное расположение прямых l 1 и l 2 и найти точку их пересечения (если они пересекаются), достаточно решить систему уравнений с тремя неизвестными:

Если эта система имеет единственное решение х 0, у 0, z 0, то прямые пересекаются в точке М 0( х 0, у 0, z 0). Если система имеет бесконечное множество решений, то прямые совпадают.Если система не имеет решений, то прямые l 1 и l 2 не имеют общих точек, а потому либо параллельные, либо скрещивающиеся. Пусть заданы плоскость и прямая l

:Если система из этих трех линейных уравнений с тремя неизвестными х , у , z имеет единственное решение, то l и пересекаются; если система несовместна, то; если система имеет бесконечное множество решений, то прямая l лежит в плоскости.Условие параллельности l и совпадает с условием перпендикулярности векторов Условие перпендикулярности l и будет выглядеть так:

(Убедитесь в этом!).

Пример 3.7. Выяснить взаимное расположение прямой l и плоскости, если они заданы уравнениями:

Решение. Запишем уравнения прямой l в параметрической форме:

(3.16)

1) Подставим эти выражения в уравнение плоскости, получим:

.

Решая это уравнение, получим t 1 = 1. Подставим это значение в систему (3.16) получим, ,. Следовательно, прямая и плоскость пересекаются в точке М 1(3, 2, 7).2) Подставим х , у , z из (3.16) в уравнение плоскости:

Получили противоречивое уравнение, значит, соответствующая система решений не имеет, а поэтому . 3) Подставим х , у , z из системы (3.16) в уравнение плоскости:

отсюда видно, что параметр t может принимать любые значения, при этом соответствующая точка прямой l принадлежит плоскости . Значит, прямая l лежит в плоскости.