4.1. Понятие дифференциального уравнения с частными производными

Ранее мы изучали обыкновенные дифференциальные уравнения, решениями которых являлись функции одной неизвестной переменной. На практике многие задачи в математике, физике, аэро- и гидродинамики и других науках приводят к дифференциальным уравнениям относительно искомых функций двух и большего числа переменных.

Если неизвестная функция U = U(x, y) является функцией двух независимых переменных, то в общем случае дифференциальное уравнение с частными производными первого порядка для этой функции имеет вид [15]:

.

Уравнение с частными производными второго порядка для той же функции будет:

Аналогично можно записать общий вид дифференциального уравнения с частными производными n-го порядка.

Под уравнениями математической физики понимают в основном такие уравнения с частными производными второго порядка, а также некоторые интегральные и интегро-дифференциальные уравнения, применяемые к решению задач физики, техники и др. Теория уравнений математической физики тесно связана с различными отделами математики [16].Задача интегрирования уравнения с частными производными состоит в том, чтобы найти все решения данного уравнения.

Известно, что обыкновенное дифференциальное уравнение имеет бесконечное множество решений, так как его общее решение содержит произвольные постоянные.


Естественно предположить, что и уравнение с частными производными имеет бесчисленное множество решений. Кроме произвольных постоянных, в решение уравнений с частными производными могут входить произвольные функции тех же аргументов, от которых зависит искомая функция. Покажем это на примерах.

Пример 1

Решить уравнение с частными производными первого порядка

.

Решение. Перенося вычитаемое в правую часть, получим уравнение, эквивалентное заданному:

.

Будем рассматривать у как параметр, тогда уравнение становится обыкновенным для функции U аргумента х. Общее решение его: ,  – произвольная функция от у. Функция  удовлетворяет данному дифференциальному уравнению:

,

так как                                                  .

Вывод: общее решение уравнения с частными производными первого порядка всегда содержит одну произвольную функцию.