4. 2. Классификация линейных дифференциальных уравнений с частными производными второго порядка

Введем обозначения (для сокращения и удобства письма):

.

Пусть дано уравнение

,                            (4.1)

где        – заданные функции х, y.

Это уравнение называется линейным. Если , то уравнение называется линейным однородным, в противном случае линейным неоднородным. Если все коэффициенты постоянные, то уравнение называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами.

Практика и теория подтверждает, что с помощью преобразования переменных  данное дифференциальное уравнение остается линейным:

,                                        (4.2)

где коэффициенты [7]:

Спрашивается: нельзя ли выбрать переменные  и  так, чтобы в преобразованном уравнении (4.2) некоторые коэффициенты обратились в нуль? Эта возникшая задача связана с решением обыкновенного дифференциального уравнения, которое называется характеристическим для исходного с частными производными:

                                            (4.3.)

Его интегралы называются характеристиками.

Если  – общий интеграл (4.3), то, положив , мы обратим в нуль коэффициент  при .

Если  – другой интеграл (4.3), линейно независим от , то полагают , тем самым в нуль обращают  при .

Уравнение (4.3.) можно записать так:

.                                               (4.4)

Если , то  и  – действительные и различные. Делая замену, приводим уравнение к виду:

                                                 (4.5)

В этом случае говорят, что уравнение имеет гиперболический тип. Если положить , , то уравнение примет вид:

.                                         (4.6)

Если , то имеем один общий интеграл . Пусть  – любая функция, линейно независимая от , тогда: , и исходное уравнение будет иметь вид:

                                                 (4.7)

В этом случае говорят, что уравнение имеет параболический тип.

Если , то характеристическое уравнение имеет комплексно сопряженные интегралы:

 и ,

и, положив     уравнение приведем к виду:

,                                         (4.8)

который называется эллиптическим.

Если коэффициенты линейного уравнения постоянные, то характеристическое уравнение имеет решение:

При  уравнение приводится к виду:

или

,

который называется гиперболическим.

При  уравнение приводится к параболическому типу:

При  уравнение приводится к эллиптическому типу:

Пример 1

Привести к каноническому виду уравнение:

Решение. Запишем, чему равны для нашего случая коэффициенты.


Так как:  имеем уравнение параболического типа.

Характеристическое уравнение имеет вид:

Решая его, находим, что общий интеграл  xy = C.

Положим , а в качестве другой переменной возьмем . При этом:  Тогда

Подставляя значения частных производных в исходное уравнение, после простых преобразований получим:

.

Пример 2

Привести к каноническому виду уравнение:

Решение.  т.е. имеем уравнение эллиптического типа. Составим уравнение характеристик:  или .

Отсюда ; получаем два семейства комплексно сопряженных характеристик:

 и .

Делаем замену переменных: ;

Подставив эти значения в исходное уравнение, получим

Пример 3

Привести к каноническому виду уравнение:

Решение. Здесь   – уравнение гиперболического типа. Уравнение характеристик:

.

Отсюда

 и .

Проинтегрировав эти уравнения, получим два семейства характеристик:

 и .

Отсюда

 и  

т.е. получили уравнения характеристик. Вводим новые переменные: . Далее необходимо выразить частные производные по старым переменным через новые (требуется использовать правило дифференцирования сложной функции двух независимых переменных):

далее рекомендуется найти производные второго порядка самостоятельно в качестве упражнений и получить окончательный результат:

 .

Получили уравнение канонического вида.