4.3. Композиция оценок и сравнений

Рассмотрим ситуацию, когда все свойства альтернатив имеют численную оценку, т. е. являются критериями. Обозначим их через . В этом случае любой альтернативе может быть сопоставлена точка n-мерного пространства En, координаты которой есть значения соответствующих критериев. Такое пространство называется критериальным. Будем для определенности считать, что чем больше значение i-гo критерия , тем предпочтительнее данная альтернатива по свойству i. Рассмотрим две произвольные альтернативы. Возможны две ситуации:

1) одна альтернатива не хуже другой по всем критериям:

                    (4.2)

(причем хотя бы одно неравенство выполняется как строгое);

2) этого утверждать нельзя.

Условие (4.2) – это естественное условие предпочтения альтернативы c2 перед альтернативой c1. Таким образом, переход от c1 к c2  улучшает наш выбор. Существуют ли неулучшаемые альтернативы? Да, и практически всегда – для этого требуется лишь ограниченность значений критериев . Для демонстрации важнейших идей по композиции оценок воспользуемся удобной графической интерпретацией критериального пространства при n = 2.

Обратимся к рис. 4.1. На нем в осях C1, С2. точками или звездочками изображены альтернативы. Неулучшаемой альтернативой на рис. 4.1, а очевидным образом является та, которая расположена выше и правее всех. Проверить ее неулучшаемость можно так: провести из данной точки лучи параллельно положительному направлению осей и убедиться, что в образованном углу других альтернатив нет. Это свойство неулучшаемости легко доказать от противного.

Рис. 4.1. Варианты альтернатив

В ситуации рис. 4.1, а мы нашли единственную неулучшаемую альтернативу, которую естественно выбрать в качестве наилучшей. Однако уже рис. 4.1, б демонстрирует, что таких альтернатив может быть более одной, а рис. 4.1, в показывает, что возможен случай, когда все альтернативы будут неулучшаемы. Однако типичен именно вариант 4.1, б, на котором число неулучшаемых альтернатив меньше (зачастую – значительно) числа исходных альтернатив.

Множество неулучшаемых альтернатив называется множеством Парето для данной задачи.

Очевидно, что точки, не принадлежащие множеству Парето, не претендуют на то, чтобы считаться лучшей альтернативой. Выделение множества Парето – это первый

шаг в сравнении альтернатив. Можно вообще ограничиться этим и считать лучшими все те альтернативы, которые попали в это множество. Однако в абсолютном большинстве практических задач требуется в итоге выбрать только одну альтернативу.

Приемов такого выбора, основанных на столь же естественных предположениях, как и те, которые привели к выделению множества Парето, не существует. Для дальнейшей формализации выбора вводятся более специфические и часто достаточно спорные приемы.

Приведем наиболее распространенные из них.

1) Выбирают альтернативу, у которой сумма значений критериев максимальна. Развитие этой идеи сравнения значений различных критериев ведет к максимизации некоторой выбранной функции от критериев . Вид  наиболее употребителен и называется линейной сверткой критериев с весами ai . На рис. 4.2 альтернативой с максимальной суммой критериев (свертка с  ai  = 1) будет точка c5.

Сложение критериев друг с другом и другие операции с ними редко бывают физически обоснованными. Введение функции от критериев – в большинстве случаев вынужденная мера, ведущая к необходимости экспертного определения весов отдельных критериев.

Рис. 4.2. Примеры выбора на множестве Парето

2) Фиксируют набор чисел (уровней) и ищут альтернативу, у которой на все критерии, кроме одного, наложены ограничения , а оставшийся критерий С1 максимален. Естественно, что взятие в качестве основного, главного критерия именно С1  условно; он, как и важные в этой задаче уровни Ai, подлежит специальному выбору. На рис. 4.2 при закреплении уровня A1 для первого критерия в качестве решения получим альтернативу c2, а при уровне A2 для второго – альтернативу c3. Такой прием называется методом главного критерия или методом критериальных ограничений.

Приемы 1, 2 обладают важным свойством – предварительное выделение множества Парето в них не обязательно. Доказывается, что использование этих приемов на всем множестве альтернатив при весьма общих условиях дает тот же самый результат, что и на множестве Парето. Другими словами, методы свертки и главного критерия приводят к альтернативам, принадлежащим множеству Парето. Хотя назначение этих методов – выделять единственную альтернативу, сильная зависимость решения от весов и уровней, вида свертки и выбора главного критерия приводит к

тому, что на практике предпочитают решить набор задач с различным выбором всего перечисленного.


Полученный набор решений в случае их значительного несовпадения далее обрабатывается аналогично приводимому ниже приему 4.

3) Точки множества Парето оцениваются по некоторому дополнительному свойству, которое не учитывалось ранее. Это свойство (одно или более) может иметь физический характер или быть просто математическим приемом. Так, альтернативы можно сравнивать по вторичным последствиям, по специальным образом определенной устойчивости решений, по такой геометрической характеристике, как "серединность". На рис. 4.2 точкой, наименее удаленной от всех остальных, будет c4.

4) Точки множества Парето поступают на экспертную оценку, по результатам которой на основе баллов, системы приоритетов, ранжирования, правила вето и т. д. выделяется единственная альтернатива. Если точек множества Парето слишком много, то предварительно проводят их отбор, в котором также пользуются и формальными, и неформальными приемами. Формальные способы обычно связаны с какой-либо "равномерной представимостью" точек, а экспертные могут быть основаны на выборе интересных комбинаций значений критериев и других соображениях.

Таким образом, видно, что даже для случая, когда все свойства альтернатив являются критериями, ее выбор достаточно сложен. Рассмотрим теперь ситуацию, когда для части, или даже для всех свойств  альтернатив можно ввести не численную оценку, а лишь отношение сравнения. Допустим, что любая из альтернатив имеет n свойств, по каждому из которых может быть задана операция сравнения вида (4.1). Обозначим эти операции через R1, R2, , Rn. Пусть они транзитивны и антирефлексивны. Допустим пока, что по любому отношению  сравнимы две любые альтернативы из {c}. Тогда (от противного) по каждому свойству может быть выполнено полное ранжирование альтернатив. Это – весьма полезная операция, которая далее может быть использована различными путями. Отметим, что ее результатом будет набор перестановок из альтернатив, который иногда записывается в виде матрицы из n столбцов (по числу свойств) и N строк (по числу альтернатив). Поясним это на следующем примере. Пусть мы имеем задачу с четырьмя альтернативами и двумя свойствами. Ранжирование альтернатив по свойствам дало

               (4.3)

Матрица ранжирования имеет вид

Напомним, что в первой строчке (4.3) помещены наиболее предпочтительные альтернативы по первому и второму свойствам.

Одним из способов работы с такой матрицей является введение условного пространства свойств. В нем в проекции на ось i альтернативы будут располагаться в соответствии с ранжированием по операции Ri,.

Более сложный случай составляет частичное ранжирование. Пусть вместо второй строчки в (4.3) нам известно только то, что   и  .Как здесь определить неулучшаемые альтернативы? Общий метод состоит в выделении из всех пар альтернатив  (ck, cl)  таких, что. Как только такая пара выделяется,

альтернатива cl убирается из дальнейшего рассмотрения, так как альтернатива ck предпочтительней. В нашем примере таким способом удается вывести из сравнения альтернативу c3 . Большего мы не знаем и обязаны считать неулучшаемыми оставшиеся альтернативы c1, c2, c4.

Отсюда следует, что частичное ранжирование (упорядочение) ведет к росту числа неулучшаемых альтернатив. При частичном ранжировании не существует ни матрицы ранжирования, ни условного пространства свойств. Дальнейший выбор среди неулучшаемых альтернатив в основном производится методом экспертизы.

Возвратимся к случаю полного ранжирования. Здесь с неулучшаемыми альтернативами работают аналогично тому, как это происходило с точками множества Парето в критериальном пространстве. Ведь в условном пространстве свойств мы фактически ввели искусственную оценку – место альтернативы в столбце матрицы ранжирования. Аналогом свертки будет сумма мест в столбцах. В примере на рис. 4.2 по этому признаку следует считать наилучшей альтернативу c4, она занимает второе и первое места, их сумма (с единичными весами) равняется трем. Аналогом уровней Аi будут места, ниже которых данная альтернатива не опускается в столбце i.

Еще один способ выделения неулучшаемых альтернатив состоит в использовании для этой цели графов. Наиболее распространен вариант, когда вершины графа соответствуют альтернативам, а ориентированные (со стрелкой) дуги между ck и ct проводятся только в том случае, если. Такой способ пригоден и для полной, и для частичной упорядоченности. Он часто используется в упрощенном случае, когда имеется всего одна операция сравнения R, т. е. возможно непосредственное, а не по свойствам, сравнение альтернатив друг с другом. В любом случае неулучшаемыми будут альтернативы, из которых не выходят дуги.