4.4. Метод итераций

Пусть известна выпуклая область D, содержащая одно решение системы нелинейных уравнений

или в векторном виде:                  ,       ,       

Запишем эту систему в виде:

          или в векторном виде:      ,

где   ,    .

Системы    и     эквивалентны.

Пусть функции  являются непрерывно дифференцируемыми в области D. Запишем формулы метода итераций:

 

где  – номер итерации.

Таким образом, строим последовательность векторов , начиная с некоторого вектора приближения . Естественно, возникают следующие вопросы: при каких условиях последовательность  сходится к вектору точного решения с и как выбирается вектор начального приближения ?

Теорема (о сходимости)

Если функции  являются непрерывно дифференцируемыми в выпуклой области D, содержащей одно решение системы , то для сходимости метода итераций достаточно, чтобы хотя бы одна из норм матрицы M была меньше 1, где элементы матрицы находятся по формуле:

.

В качестве начального приближения в этом случае можно взять любую точку из области D.

Оценка погрешности. При выполнении условий теоремы о сходимости справедливо следующее неравенство:     .

Следовательно, условие остановки итерационного процесса записывается следующим образом:

.

Вектор , для которого выполняется условие остановки итерационного процесса, является приближенным решением, полученным методом итераций с точностью .

Алгоритм метода итераций

1. Находим выпуклую область D, содержащую одно решение системы нелинейных уравнений . Записываем систему нелинейных уравнений в виде , причем эти две системы должны быть эквивалентны:

Кроме этого,  должны быть непрерывно дифференцируемыми в D и хотя бы одна из норм матрицы M должна быть меньше единицы, где элементы матрицы M находятся по формуле:   .

2. Выбираем начальное приближение:  – произвольную точку из D.

3. Строим итерационный процесс:

Последовательность  сходится к точному решению c, так как .

4. Условие остановки итерационного процесса:   .

Вектор , для которого выполняется условие остановки итерационного процесса, является приближенным решением, полученным методом итераций с точностью e.

Таким образом, .

Пример 1

Построить алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом итераций с точностью :

Решение

Мы уже отделяли область , содержащую одно решение этой системы нелинейных уравнений. D – выпуклая область.

1. Запишем систему в виде:

                

Функции  непрерывно дифференцируемы в D.

Вычислим:

,                                     ,

,                              .

Построим матрицу M:

,

, следовательно, .

Необходимо уменьшить область D таким образом, чтобы эта область содержала решение и ,    .

Рассмотрим прямоугольник:  .

D – выпуклая область, содержащая одно решение системы нелинейных уравнений.

Вычислим  и докажем, что :

,                ;

.

Заметим, что это гарантирует сходимость метода итераций, но сходимость будет медленной.


Метод итераций быстро сходится, если .

Для улучшения сходимости можно еще уменьшить D или выбрать  и  другим способом.

2. Выбираем точку начального приближения из D:    .

Так как , то последовательность  сходится к точному решению.

3. Строим итерационный процесс:

4. Условие остановки итерационного процесса: .

Вектор , удовлетворяющий этому условию, является приближенным решением, полученным методом итераций, с точностью e.

Недостатки метода итераций

1. Нет общего приема для перехода от системы F(x) = 0 к системе x = F(x).

2. Метод медленно сходится для M таких, что .

Устойчивость метода итерации. Если , то метод итераций является устойчивым относительно вычислительной погрешности.

Пример 2

Известно, что решение системы нелинейных уравнений:

  (где  измеряются в радианах)

принадлежит области . Построить и обосновать алгоритм решения системы нелинейных уравнений методом итераций с точностью e.

Решение

Область D – куб,  следовательно, D – выпуклая область, содержащая одно решение системы нелинейных уравнений. Система уже приведена к виду, удобному для итераций:

Функции  являются непрерывно дифференцируемыми в области D. Найдем элементы матрицы М и вычислим  :

,                    ,       ,

,                  ,       ,

,                 ,       ;

,                     ,            ,

,                     ,            ,

,                   ,            ;

,        .

, следовательно, метод итераций сходится для любого начального приближения .

2. Начальное приближение: .

3. Формулы метода:

,

,

.

Так как , то последовательность , где , сходится к точному решению системы нелинейных уравнений.

4. Условие остановки итерационного процесса:

,   .

Вектор , удовлетворяющий условию остановки итерационного процесса, считается приближенным решением системы нелинейных уравнений, полученным методом итераций с точностью e.