4.4. Решение Даламбера для неограниченной струны

Рассмотрим неограниченную струну . Уравнение свободных колебаний однородной струны имеет вид

.                                            (4.28)

Положим

                                                (4.29)

Видно, что  xat = C1,    x + at = C2  – есть характеристики уравнения (4.28). Это уравнение в новых переменных запишется в виде:

Из последнего имеем:

где  – произвольная функция . Интегрируя это уравнение по , найдем:

где  – произвольная функция от . Положим

,

получим:

.

Возвращаясь к старым переменным х и t, будем иметь:

.                                        (4.30)

Решение (4.30) уравнения (4.28) называется решением Даламбера (методом характеристик).

Пусть требуется найти решение уравнения (4.28), удовлетворяющее начальным условиям:

.                                        (4.31)

Ввиду того, что струна бесконечная функции  и  заданы в  . В решении (4.30) нашего уравнения нужно выбрать функции  и  так, чтобы удовлетворить начальным условиям (I.4.4). Из начальных условий (4.31) имеем

,

откуда, интегрируя второе равенство, получим

                                       (I.4.5)

где С – произвольная постоянная.

Из равенства (4.32) найдем:

                                     (4.33)

Подставим (4.33) в (4.30), получим:

или окончательно

.                         (4.34)

Формула (4.34) даёт решения задачи Коши, если  имеет непрерывные производные до второго порядка включительно, а  – до первого.


Задача Коши поставлена корректно, а решение её единственное. Это видно из вывода формулы Даламбера.

Пример 1

Найти решение уравнения: ,   если   .

Решение. Граничные условия отсутствуют, следовательно, струна – бесконечна в обе стороны. По формуле Даламбера:

.

По условию задачи:  поэтому

Пример 2

Найти форму струны, описываемую уравнением:  в момент , если

Решение. Здесь . Следовательно, по (4.34) получим

Если , то  – струна параллельна оси Ох.

Пример 3

Найти решение уравнения: , если

Решение. По формуле Даламбера

Ответ: