5.2. Виды средних величин и способы их расчета

Выбор вида средней определяется экономическим содержанием определенного показателя и исходных данных. В статистике используются различные виды (формы) средних величин: арифметическая, гармоническая, геометрическая, квадратическая, кубическая и т.д.

Перечисленные средние относятся к классу степенных средних и объединяются общей формулой (при различных значениях  т):

,

где  — среднее значение исследуемого явления;

т – показатель степени средней;

х – текущее значение (вариант) определяемого признака;

п – число признаков.

В зависимости от значения показателя степени m различают следующие виды степенных средних:

при т = — 1  — средняя гармоническая ();

при т = 0  — средняя геометрическая ();

при т = 1  — средняя арифметическая ();

при т = 2  — средняя квадратическая ();

при т = 3  — средняя кубическая ().

При использовании одних и тех же исходных данных, чем больше т, тем больше значения средней величины:

.

Это свойство степенных средних называется в статистике правилом мажорантности средних.

Вид средних выбирается в каждом отдельном случае путем конкретного анализа изучаемой совокупности, с учетом содержания изучаемого явления и принципами суммирования и взвешивания.

Указанные средние величины могут быть вычислены либо когда каждый вариант в данной совокупности встречается только один раз, при этом средняя называется простой, либо когда варианты повторяются различное число раз, при этом число повторений вариантов называется частотой или статистическим весом, а средняя, исчисленная с учетом весов, — средней взвешенной.

Наиболее распространенным видом средних является средняя арифметическая. Применяется в тех случаях, когда объем осредняемого признака для всей совокупности является суммой значений признаков отдельных ее единиц. Чтобы исчислить среднюю арифметическую, нужно сумму всех значений признаков разделить на их число.

Средняя арифметическая применяется в форме простой средней и взвешенной средней.

Средняя арифметическая простая определяется по формуле

,

где х1, х2, …, хп – индивидуальные значения осредняемого признака или варианта;

п – число единиц совокупности.

Пример. Обследование пяти квартир первого этажа жилого дома показало, что вних проживает соответственно 1, 2, 3, 4 и 5 человек.

Средняя арифметическая равна

,

то есть в среднем на одну квартиру первого этажа приходится 3 человека.

Средняя арифметическая взвешенная – средняя сгруппированных величин х1, х2, …, хп – вычисляется по формуле

,

где f1, f2, …, fn – веса (частоты повторения одинаковых признаков);

- сумма произведений величины признаков на их частоты;

- общая численность единиц совокупности.

Пример. Результаты обследования всех квартир жилого дома приведены в табл. 5.1.

Таблица 5.1

Количество проживающих в квартире, xi

Количество квартир,

fi

xi fi

1

2

3

4

5

6

9

10

20

15

6

18

30

80

75

Итого:

60

209

Вычислить среднее число жителей, проживающих в одной квартире.

Находим среднюю арифметическую взвешенную, предварительно заполнив графу 3 в табл.


5.1.

,

т.е. в среднем на одну квартиру в этом доме приходится 3,48 человека.

Средняя гармоническая – это величина, обратная средней арифметической  (при т = -1). Когда статистическая информация не содержит частот f по отдельным вариантам х совокупности, а представлена как их произведение , применяется формула средней гармонической взвешенной.

Средняя гармоническая простая

.

Средняя гармоническая взвешенная

.

Если обозначить , то формула будет иметь вид:

.

Пример. По данным табл. 5.2 определить среднюю цену 1 кг картофеля.

Таблица 5.2

Номер магазина

Цена картофеля

р./кг (х)

Выручка от реализации

тыс. р. ()

Частота (количество реализованных единиц) кг

1

2

3

8

10

9

240

150

180

30000

15000

20 000

Итого:

-

570

65 000

Расчет средней цены выражается соотношением:

 .

Средняя цена 1 кг картофеля, р. по трем магазинам может быть исчислена по формуле средней гармонической взвешенной:

 

т.е. средняя цена 1 кг картофеля по трем магазинам составила 8 р. 77 к.

Средняя геометрическая – применяется для анализа динамики явлений,  позволяет определить средний коэффициент роста и исчисляется извлечением корня степени п из произведений отдельных значений – вариантов признака х:

,

где п – число вариантов;

      П – знак произведения.

При расчете средней геометрической индивидуальные значения признака обычно представляют собой относительные показатели динамики, построенные в виде цепных величин, как отношение каждого уровня ряда к предыдущему уровню.