5.3. СВЕРТЫВАНИЕ КРИТЕРИЕВ В МНОГОКРИТЕРИАЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ

Реально редко удается представить единственный критерий операции. Такая ситуация, как правило, отражает нечеткое понимание исследователем своих целей при постановке задачи. Следствием таких неопределенных ситуаций часто являются модели операции, в которых нет единого критерия эффективности. Вместо этого появляется вектор-функция параметров, состоящая обычно из всех или части фазовых координат. Очевидно, что каждую составляющую вектора W(x, y) следует увеличивать (или уменьшать), но остается неясным, какие именно комбинации значений составляющих вектора следует предпочитать другим, когда нет возможности (а чаще всего это именно так) увеличивать или уменьшать их одновременно.

В реальных задачах проектирования, как правило, преследуется не одна, а несколько целей, и поэтому практически всегда возникает задача объединения операций.

Так, например, проектировщик желает, чтобы его бизнес-проект (например, проектируемое предприятие) обеспечивал максимальную прибыль, имел минимальные капиталовложения, максимальную технологичность, минимальные энергетические затраты и т.п. Зачастую эти частные критерии противоречивы, и изменение управляющих переменных, приводящих к желательному увеличению одного из критериев, приводит к нежелательному увеличению (или уменьшению) другого частного критерия. Ставится задача, как же составить единый критерий? Рассмотрим ряд способов объединения (свертывания) критериев, т.е. функций

Wc=F(Wj),

которые наиболее часто фигурируют в практике исследования операций.

1) Суммирование или «экономический» способ соединения, когда целью объединенной операции является максимизация суммарного критерия типа

.

Коэффициенты lj называются весовыми коэффициентами или просто «весами» критериев. Величина этого коэффициента соответствует важности того или иного критерия: чем важнее увеличение данного частного критерия, тем больше должна быть величина весового коэффициента. Положительный знак весового коэффициента соответствует критериям, которые следует увеличивать, а для частных критериев, которые минимизируются, могут быть приняты отрицательные значения весовых коэффициентов.

При таком способе объединения критериев всегда остается проблемой выбор величин весовых коэффициентов. Здесь зачастую нет достаточно обоснованных решений, и поэтому, хотя именно этот способ применяется чаще всего, следует серьезно подходить к проблеме назначения этих коэффициентов.

Частным случаем приведенной свертки критериев является критерий в виде дроби, в числители которой стоят те величины, увеличение которых желательно, а в знаменателе – те, увеличение которых нежелательно. Например, в числителе – критерий, соответствующий комфортности спроектированного жилья, а в знаменателе – стоимость здания. Главным пороком таких «составных» критериев является то, что здесь в принципе недостаток в одном критерии может быть скомпенсирован за счет другого; скажем, недостаточная комфортность жилья за счет стоимости здания. Критерии подобного типа, как указывает Е. Вентцель, напоминает в шутку предложенный Л. Н. Толстым «критерий для оценки человека», в виде дроби. В числители дроби стоят действительные достоинства человека, а в знаменателе – его мнение о себе. Несостоятельность такого критерия очевидна, так как по нему человек, почти не имеющий достоинств, но совсем не обладающий самомнением, будет иметь бесконечно большую ценность.

Почему критерий в виде дроби – это частный случай «экономического» свертывания критериев? Представим объединенный критерий в виде дроби, где различные частные критерии возведены в некоторые выбранные степени, соответствующие «важности» критериев:

Теперь прологарифмируем дробь

Как видим, получили критерий в виде суммы.

Однако такой указанный недостаток такой свертки критериев не означает, что этим способом нельзя пользоваться. Такого рода критерии могут быть с успехом использованы, если на частные критерии накладываются соответствующие ограничения,

не позволяющие какому-то отдельному частному критерию стать меньше (или больше) предельно допустимого значения.

2) Способ перехода к цели первого типа путем разбиения векторов на удовлетворительные и неудовлетворительные.

Удовлетворительными объявляются только те векторы {Wj}, для которых

  (*)

При этом критерий объединенной операции имеет, естественно, вид

Wc = 1, при выполнении (*)

Wc = 0, в остальных случаях.

Этот вариант объединения может применяться даже при s=1 и означает тогда замену цели – увеличение критерия на цель – достижение неравенства .


Обычно затруднительно дать убедительные доводы в пользу того или иного вектора W0, и поэтому при применении такого способа объединения особенно подчеркивается необходимость использования принципа свободы выбора критерия заказчиком (оперирующей стороной).

3) Метод последовательных уступок.

Предположим, что критерии расположены в порядке убывающей важности: сначала основной (главный) критерий W, затем другие, второстепенные – К1, К2, … Для простоты будем считать, что каждый из них максимизируется (заметим, что, если требуется минимизировать критерий, достаточно изменить его знак).

Процедура нахождения компромиссного решения сводится к следующему. Сначала ищем решение, обращающее в максимум показатель эффективности W. Затем назначается, более или менее произвольно, «уступка» DW в этом показателе, которую мы согласны допустить, чтобы обратить в максимум следующий критерий (например, мы согласны на теплотрассе вместо 10% потерь иметь 12%, если этой ценой можно обратить в максимум число жилых зданий, обслуживаемых этой теплотрассой). Далее налагаем на показатель эффективности условие, чтобы он был не меньше , и при этом ограничении находим решение, обращающее в максимум критерий К1. Снова назначаем «уступку» 1 в критерии К1, за счет чего обращаем в максимум следующий критерий К2 и т.д.

Такой способ последовательного построения компромиссного решения удобен тем, что мы всегда видим, ценой какой уступки в одном критерии приобретаем выигрыш в другом.

Отметим, что свобода выбора решения, приобретаемая ценой даже незначительных уступок, может оказаться существенной, так как в районе максимума обычно эффективность решения меняется очень слабо.

Вопрос о методах свертывания критериев тесно соприкасается и даже является частью более общей постановки вопроса о методах объединения операций или, что то же самое, вопроса о методах разбиения операции на более мелкие.

При формировании единого критерия объединенной операции можно представить себе две различные ситуации.

1) Суммарный критерий объединенной операции имеет вид

Wc = F(W1, W2, …, Ws),

где Wj – значения критерия для j-го составляющей операции, т.е. критерий суммарной операции есть функция только критериев частных операций.

2) Суммарный критерий может быть представлен только как функция фазовых координат новой операции, но не сводится к функции частных критериев. В этом случае операция не имеет ничего общего по своей цели с частными критериями и, значит,

является новой операцией, только базирующейся на активных средствах прежних частных операций.

Чтобы понять эти две различные ситуации, представим, что при проектировании какого-либо микрорайона решаются ряд задач:

§ прокладка транспортных маршрутов, где в качестве критерия выбрано минимальное время нахождения пассажиров в пути;

§ проектирование сетей теплоснабжения, где критерием является минимум тепловых потерь на трассе;

§ проектирование жилой застройки, где в качестве критерия выбран максимум числа поселяемых жителей;

§ проектирование торговых центров, где критерием выбран максимум пропускной способности магазинов и т.д.

Можно представить себе объединенную операцию – проектирование микрорайона в целом с единым критерием – минимальные суммарные затраты на строительство. При этом единый критерий представляет собой некоторую функцию перечисленных критериев задач, так как очевидно от них зависит.

В качестве фазовых координат задачи, или, иначе говоря, ее параметров, могут выступать застраиваемая площадь, объемы расходуемых строительных материалов, типы и количество используемой строительной техники, расход топлива, электроэнергии и т.п.

Если же на этой территории решено строить стартовую площадку космических кораблей, где в качестве единого критерия также выбрана минимальная стоимость строительства, то этот критерий никак не связан с частными критериями, рассмотренными ранее, так как новая операция не имеет ничего общего по своим целям с предыдущей, хотя также использует в качестве фазовых координат площадь застройки, объемы строительных материалов, строительную технику и т.п.

Естественно поэтому, то под объединением операций и получением комплексного, единого критерия следует понимать только первый случай.