5.  ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФОРМУЛ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ГЕОМЕТРИИ НА ПЛОСКОСТИ

При решении задач механики, сопротивления материалов, теории механизмов машин, строительства и техники, связанных с преобразованием систем координат, используют:

1) Параллельный перенос системы координат:   x¢ = x - p,      y¢ = yq,

где О¢(p, q) – новое начало, (х, у) – старые координаты точки, (х¢, y¢) — новые координаты.

2) Поворот системы координат:

cos,

где (х, у) – старые координаты точки (при неподвижном начале), (x¢, y¢) – новые координаты,  — угол поворота; причем:

,

где  а общее уравнение линии второго порядка имеет вид

Ax2 + 2Bxy + Сy2 + Dx + Ey + F = 0.

Пример 1: Привести линию  к каноническому виду.

Здесь A = 2,5;  2B = -3; C = 2,5;  D = -12;  E = 4;  F = 12.

Из ctg2, тогда  и формулы поворота дают                                                               

Подставив эти значения в исходное уравнение, будем иметь

Выделив полные квадраты и используя формулы параллельного переноса

,

придем к уравнению

 — эллипс  с а = 2,  b = 1.

3) Расстояние между точками

.

4) Координаты точки М(х, у), делящей отрезок , в данном отношении

при  = 1 (М — середина отрезка)   x = (x1 + x2) / 2,  y = (y1 + y2) / 2.

5) Площадь треугольника с вершинами  и

Пример 2: Вычислить площадь листа жести, имеющего форму треугольника с вершинами M1(-2, -1), M2(3, 5) и M3(-1, 4).

Решение: Используя предыдущую формулу (знак берут таким, чтобы для площади получилось положительное число):

S = 0,5 [(3 + 2) (4 + 1) — (-1 + 2) (5 + 1)] = 9,5 (ед2).

6) Уравнение прямой с угловым коэффициентом

y = kx + b,

где  — угловой коэффициент прямой к оси ОХ  и b - отрезок, отсекаемый прямой на оси ОУ.

7) Определение угла  a  между прямыми с угловыми коэффициентами k1 и k2:

.

8) Условие параллельности и перпендикулярности прямых

    .

Если прямые заданы общими уравнениями

 и ,

то

.  (5.1)

Пример 3: Найти угол между прямыми 10x + 6y + 30 = 0,  x + 4y – 7 = 0.

Решение: По формуле (5.1): A1 = 10,  B1 = 6,  A2 = 1,  B2 = 4, тогда

.

Пример 4: Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(2;-1) и параллельной прямой 3х + 4у + 10 = 0.

Решение: Искомое уравнение будет: 3х + 4у + С = 0, где С пока не определено. Используем условие А1 = А2,  В1=В2 - условие параллельности. Подставим координаты точки М(2;-1) в искомое уравнение (ибо точка лежит на ней): 3х + 4у + С = 0, получим , откуда С = -2; таким образом, уравнение искомой прямой будет:   3х + 4у – 2 = 0.

Пример 5: Составить уравнение прямой, проходящей через точку М(-5, 2) и перпендикулярной прямой 2x + 3y – 9 = 0.

Решение: Разрешив уравнение 2x + 3y – 9 = 0 относительно у, будем иметь  . Видим, что  k1 = , тогда . Свободный член С определим из условия, что точка М(-5, 2) лежит на искомой прямой . Подставив значения   x = -5,  y = 2,  найдем  С = .  Искомая линия:  y = .

9) Уравнение прямой, проходящей через заданную точку

.

10) Уравнение прямой, проходящей через две точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2):

 — уравнение прямой в виде пропорций.

11) Параметрические уравнения прямой, проходящей через две точки:

(приравняли каждое из отношений предыдущей формулы параметру t).

Пример 6: Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точки   и .

Решение: Используя формулы, получаем:

 то есть .

12) Уравнение прямой в отрезках:

,

где a и b — величины направленных отрезков, отсекаемых соответственно на оси ОХ и оси ОУ.

Пример 7: Найти величины отрезков, отсекаемых на осях координат прямой, заданной уравнением 3x + 4y – 12 = 0.

Решение: Перенесем в правую часть свободный член и на него разделим полученное равенство: .

Сравнивая полученное уравнение с уравнением в отрезках, утверждаем, что а = 4, b = 3.

13) Общее уравнение прямой: Ах + Ву + С = 0  (А2 + В2  0).

14) Расстояние точки М0(х0, у0) от  прямой  Ах + Ву + С = 0:

.

Пример 8. Определить расстояние от точки М0(-3; 2) до прямой 5х — 3у – 30 = 0.

Решение: воспользуемся формулой, получим, что

.

15) Уравнение биссектрис между двумя прямыми А1х+В1х+С1=0 и А2х+В2х+С2=0:

= .

Пример 9. Составить уравнение биссектрис углов, образованных прямыми

Решение: Согласно формуле, получим

.

Преобразовав это  уравнение, найдём:

,

  ,

 — уравнения биссектрис.

16) Уравнение окружности с центром в точке О1(х1, у1) с радиусом R:

.

Если точка О1(0; 0), то х2 + у2 = R2.

Замечание: Если уравнение второй степени не содержит члена с произведением координат ху и имеет равные коэффициенты при х2 и у2, то есть Ах2 + Ау2+Dx+Ey + F=0,  тогда оно определяет окружность.

Пример 10: Найти координаты центра и радиус окружности х2 + 4х + у2 - 2у – 3 =0.

Решение: Выделим полные квадраты относительно х и у:

откуда  и R = .

17) Каноническое уравнение эллипса с полуосями а и b:

.

Фокусы эллипса F(с, 0) и F1(-с, 0), где с2 = а2 - b2.

Эксцентриситет: .

Фокальные радиусы точки М(х, у) эллипса: r =.

Прямые  — директрисы эллипса.

Пример 11.


Какую линию определяет уравнение ?

Решение:  Разделив левую и правую части  уравнения на 6, получим каноническое уравнение эллипса:  откуда полуоси: . Фокусы: с2 = a2 - b2,    с2 = 4 – 3 = 1, с = 1. Следовательно, F1(-1, 0), F2(1, 0). Фокальные радиусы точки М(х, у):   и .

18) Гипербола: ; F1(-с, 0) и F2(с, 0), где с2 = а2 + b2, а — действительная и b — мнимая полуоси гиперболы.

Фокальные радиусы: , , где  — эксцентриситет гиперболы.

Асимптоты гиперболы: .

Директрисы гиперболы: .

Равносторонняя гипербола: .

19) График обратной пропорциональности  —  равносторонняя гипербола с асимптотами х = 0 и у = 0.

Пример 12. Какую линию задаёт уравнение ?

Решение: Разделим почленно заданное уравнение на 36, получим каноническое уравнение гиперболы  с действительной полуосью а = 2, мнимой полуосью b = 3. Координаты фокусов: с2 = 4 + 9 = 13,  с =  и .

Эксцентриситет:  ; директрисы: ; асимптоты: ; фокальные радиусы, например, точки М(2;3) гиперболы:  ,  . Заметим, что ,  т.е. .

20) Каноническое уравнение параболы с параметром  р:

у2 = 2рх.

Фокус параболы: ; уравнение директрисы: , фокальный радиус точки параболы: .

Пример 13:  Найти координаты фокуса и уравнение директрисы параболы y2 = 8x.

Решение:  Сравнив данное уравнение с каноническим, видно, что 2p = 8,  р = 4,  . Директриса: x = -2, фокус параболы находится в точке F(2, 0). Фокальный радиус, например, для точки M(2, 4) будет .

20) График квадратного трехчлена  — парабола с вершиной

O1() (вертикальная парабола).

21) Полярные координаты точки с прямоугольными координатами х и у:

.

Прямоугольные координаты точки с полярными координатами  и :

.

22) Параметрические уравнения окружности радиуса R с центром в начале координат:

x = R cos t,  y = R sin t, где  t – параметр .

23) Параметрические уравнения эллипса с полуосями a  и  b: x = ac cos t,  y = b sin t, .

24) Параметрические уравнения циклоиды (рис. 5.1, а):

.

25) Лемниската Бернулли (рис. 5.1, б, в) в декартовых координатах имеет уравнение

;

в полярных                                              .

26) Кардиоида: параметрические уравнения кардиоиды:

:

- в полярных координатах (рис. 5.1, г)                   

- в декартовых координатах                                     .

Здесь  r — радиус окружности, катящейся по окружности с таким же радиусом    (см. рис. 5.1).

27) Розы: линии заданы уравнениями  или , где а, к>0, если

 — четырехлепестковая роза;

 — трехлепестковая роза (рис. 5.1, е, д).

28) Алгебраические спирали

а) спираль Архимеда  (рис. 5.1, и);

б) гиперболическая спираль ;

в) спираль Галилея ;

г) спираль Ферма ;

д) логарифмическая спираль .

29) Трактрисса – линия, у которой длина касательной является постоянной величиной. Параметрические уравнения (рис. 5.1, ж)

Замечание: Трактрисса применяется в одной из частей механизма карусельного токарного станка.

30) Цепная линия:  — кривая, форму которой принимает под действием силы тяжести нить (трос) с закрепленными концами. Уравнение цепной линии  записывают и так:  где ch – гиперболический косинус (рис. 5.1, з).

31) Астроида – кривая, заданная уравнением:

.

Параметрические уравнения астроиды: x = a cos3 ty = a sin3 t (рис. 5.1, к).