6.2. Квадратурные формулы

Введем несколько определений.

Определение. Квадратурной формулой называется всякая простая  формула, аппроксимирующая отдельный интеграл :

,            .

Таким образом, любая формула для нахождения  – это квадратурная формула.

Определение. Составная квадратурная формула – это формула, дающая приближение к интегралу

в виде суммы приближений по данной квадратурной формуле к отдельным интегралам :

,             .

Часто вместо «составная квадратурная» формула говорят просто: «формула».

Рассмотрим две простейшие квадратурные формулы: трапеций и прямоугольников.

Квадратурная формула трапеций

Квадратурная формула трапеций аппроксимирует интеграл: .

Заменяем площадь «маленькой» криволинейной трапеции площадью обычной трапеции (рис. 6.2).

Квадратурная формула трапеций:

Рис. 6.2. Квадратурная формула трапеций

,        .

,      где     – погрешность квадратурной формулы.

Пояснение. Если   для  , то ,  где с – константа.

Составная квадратурная формула трапеций

Будем считать, что сетка задана с постоянным шагом  .

Запишем интеграл в виде:

,               где     ,               .

Здесь – составная квадратурная формула трапеций:

,           ;

 – остаточный член или погрешность формулы трапеций:

,       где  с – некоторая точка из ;

.

Квадратурные формулы прямоугольников

Квадратурная формула прямоугольников.

Формула левых прямоугольников:    ,      (рис.


6.3,а).

Формула правых прямоугольников:      (рис. 6.3,б).

Рис. 6.3. Квадратурная формула левых (а) и правых (б) прямоугольников

Формула средних прямоугольников (рис. 6.4):

,     .

,

где  – погрешность квадратурной формулы прямоугольников;  .

Рис. 6.4. Квадратурная формула средних прямоугольников

Составная квадратурная формула            прямоугольников

Запишем интеграл I в виде суммы, где  – составная квадратурная формула прямоугольников,  – остаточный член или погрешность формулы прямоугольников

,            .

Считая шаг сетки постоянным    ,  получаем составную квадратурную формулу прямоугольников:

.

Запишем формулу для погрешности , где с – некоторая точка из .

.

Недостатком формулы прямоугольников является необходимость вычисления значения  в средних точках.