6.8. Примеры решение задач

Задача 1

Значение интеграла на отрезке [0, 1], вычисленное по формуле Симпсона с шагом , оказалось равным 10.4, а с шагом  –  равным 10.5. Используя экстраполяцию по Ричардсону, уточнить результат. Оценить погрешность по правилу Рунге.

Решение

Экстраполяция по Ричардсону

 ,.

.

Отметим, что формула записана в обозначениях  n, m, а задача сформулирована в обозначениях , нужно перейти  к :

,           ,            ,            ;

,         ,                 ,        ,        ;

,            .

Для формулы трапеций и формулы прямоугольников p = 2, для формулы Симпсона p = 4.

.

Оценим погрешность по правилу Рунге      .

,     где     ,       ;           .

Ответ: ,         .

Задача 2

Что больше: значение составной квадратурной формулы трапеций или значение интеграла?

Решение

.

Задача составлена таким образом, что для формулы трапеции и прямоугольников  не меняет знак на , а для формулы Симпсона  не меняет знак на :

, так как ,   ,

следовательно,  знак   определяется знаком  на .

Если  на  для всех , то .

Если  на  для всех , то .

,

  на  , следовательно,  .

,                        .

Если  ,    ,                         то        .

Ответ:  Значение интеграла меньше, чем значение составной квадратурной формулы трапеций   .

Задача 3

Определить число равных отрезков n, на которые необходимо разбить отрезок  для вычисления интеграла   по формуле  трапеций с тремя верными десятичными знаками.


Решение

Трём верным десятичным знакам соответствует абсолютная погрешность e = 0.0005, двум верным десятичным знакам – e = 0.005, четырём – e = 0.00005.

,     ,      ,

.

, следовательно, .

,                    .

,           ,             n = 67.

Ответ. n = 67.

Задача 4

Используя формулу Симпсона, построить алгоритм для вычисления интеграла     с двумя верными десятичными знаками.

Решение

Прежде всего, отметим, что двум верным десятичным знакам соответствует абсолютная погрешность.

Необходимо найти число равных отрезков n, на которые нужно разбить  для вычисления интеграла с точностью e по формуле Симпсона:

, следовательно,

;

,      ,     ,

,     ;

;

;

,            ,           .

Для формулы Симпсона n должен быть четным:  n = 2m.

Построим алгоритм. Число отрезков равно:   ,      .

Найдём приближенное значение:

, где

,               .

Сетка  ,     ,   ,     ,    .