Задача 1
Значение интеграла на отрезке [0, 1], вычисленное по формуле Симпсона с шагом 
, оказалось равным 10.4, а с шагом 
– равным 10.5. Используя экстраполяцию по Ричардсону, уточнить результат. Оценить погрешность по правилу Рунге.
Решение
Экстраполяция по Ричардсону
,
, 
.
.
Отметим, что формула записана в обозначениях n, m, а задача сформулирована в обозначениях 
, нужно перейти к 
:
, , , 
;
, 
, 
, 
, 
;
, 
.
Для формулы трапеций и формулы прямоугольников p = 2, для формулы Симпсона p = 4.
.
Оценим погрешность по правилу Рунге .
, где 
, 
; 
.
Ответ: , 
.
Задача 2
Что больше: значение составной квадратурной формулы трапеций или значение интеграла?
Решение
.
Задача составлена таким образом, что для формулы трапеции и прямоугольников 
не меняет знак на 
, а для формулы Симпсона 
не меняет знак на :
, так как 
, 
,
следовательно, знак 
определяется знаком на .
Если 
на для всех 
, то 
.
Если 
на для всех , то 
.
, 
, 
,
на 
, следовательно, .
, 
.
Если 
, 
, то 
.
Ответ: Значение интеграла меньше, чем значение составной квадратурной формулы трапеций .
Задача 3
Определить число равных отрезков n, на которые необходимо разбить отрезок 
для вычисления интеграла 
по формуле трапеций с тремя верными десятичными знаками.
Решение
Трём верным десятичным знакам соответствует абсолютная погрешность e = 0.0005, двум верным десятичным знакам – e = 0.005, четырём – e = 0.00005.
, 
, 
,
.
, следовательно, 
.
, 
.
, 
, n = 67.
Ответ. n = 67.
Задача 4
Используя формулу Симпсона, построить алгоритм для вычисления интеграла 
с двумя верными десятичными знаками.
Решение
Прежде всего, отметим, что двум верным десятичным знакам соответствует абсолютная погрешность
.
Необходимо найти число равных отрезков n, на которые нужно разбить 
для вычисления интеграла с точностью e по формуле Симпсона:
, следовательно,
;
, 
, 
,
, 
;
;
;
, 
, 
.
Для формулы Симпсона n должен быть четным: n = 2m.
Построим алгоритм. Число отрезков равно: , 
.
Найдём приближенное значение:
, где
, 
.
Сетка 
, 
, 
, 
, 
.