7.2. Корректность задачи Коши и устойчивость

Сформулируем условия, при которых задача Коши имеет единственное решение.

Теорема (существования и единственности)

Если функция  непрерывна в прямоугольнике  и удовлетворяет в области D условию , где M – константа большая нуля, то задача Коши имеет единственное решение. Это решение непрерывно зависит от начального условия .

Если выполнены условия теоремы существования и единственности и функция  непрерывна по m при , то решение задачи Коши непрерывно зависит от m.

Пример 1

При каких условиях задача Коши: ,      .

является корректно поставленной?

Решение

Достаточно, чтобы функции p(x) и m(x) были непрерывны на отрезке :

,      .

Если p(x) и m(x) непрерывны на , то  тоже непрерывна. Так как m(x) непрерывна на , то существует M > 0 такое, что

   для    .

Следовательно, решение задачи Коши существует, единственно и непрерывно зависит от входных данных, то есть задача Коши является корректно поставленной.

Численные методы применимы к корректно поставленным задачам.


В некоторых случаях условий корректности недостаточно. Необходимо, чтобы задача Коши была устойчива, то есть малые изменения в задании исходных данных приводили к достаточно малым измерениям искомого решения.

Пример 2

Задача Коши: ,    ,    ,     является корректно поставленной и устойчивой.

Пример 3

Задача Коши: ,    ,    ,     является корректно поставленной и неустойчивой.

Таким образом, корректно поставленная задача Коши может быть устойчивой, а может быть и неустойчивой. Устойчивость задачи Коши определяется знаком производной . Если , то задача Коши является устойчивой.

Отметим, что численные методы применимы как к устойчивым, так и к неустойчивым задачам Коши.