7.3.2.Бесприоритетное обслуживание «первым пришел — первым обслужен»

Пусть на входе имеется простейший поток заявок с интенсив­ностью и загрузкой . Среднее значение времени ожи­дания завершения начатого обслуживания одной заявки равно:

(7)

где - среднее время обслуживания заявок, ,

*- параметр потока обслуживания;

-коэффициент загрузки;

- коэффициент вариации времени обслуживания.

В формуле (7) и берутся в квадрате, т.е. и

,

где - среднее квадратическое отклонение времени обслуживания.

Воспользуется формулой Полячека — Хинчина для определения средней длины очереди и среднего чис­ла заявок в системе :

(8)

Среднее время ожидания при произвольном законе рас­пределения времени обслуживания можно выразить через время ожидания при постоянном времени обслуживания и его коэффициент вариации:

Формулой Полячека—Хинчина можно воспользоваться для определения среднего времени пребывания заявки в оче­реди и среднего времени пребывания заявки в системе массового обслуживания при простейшем потоке заявок с интенсивностью и произвольным распределением времени обслуживания с математическим ожиданием и коэффициентом вариации :

Простое выражение для времени ожидания заявок в очереди будет получено при экспоненциальном законе распределения времени обслуживания:

Распределение количества заявок в системе равно

Это выражение называется геометрическим законом.

При многомерных простейших потоках с интенсивностью, суммарный поток будет пуассоновским. Его интенсивность

                                                              (9)

При произвольных случайных потоках суммарный поток приближается к простейшему. В практических задачах обыч­но пользуются суммарным простейшим потоком и получают характеристики с некоторым приближением.

В первую очередь нас интересует продолжительность ожи­дания заявок в очереди при многомерном потоке. На нее наи­большее влияние оказывают различия во времени обслужива­ния заявок разных типов, которые характеризуются дисперсией распределения времени обслуживания суммарного потока. Для повышения эффективности обслуживания при бесприори­тетной дисциплине желательно так подобрать алгоритмы, чтобы длительности обслуживания разных заявок были более или менее близкими. Рассмотрим практическую задачу.

Пример 17.

Имеется набор программ для решения 20 задач. Интен­сивности поступления потоков задач и время работы про­грамм указаны в табл. 9.

Таблица 9

Характеристики потоков заявок и процесса обслуживания

Н-р задачи

,1/ч

, ч

Н-р задачи

,1/ч

, ч

1

0,11

1,0

11

0,02

2,5

2

0,05

1,1

12

0,03

2,6

3

0,09

1,2

13

0,01

2,7

4

0,20

1,3

14

0,05

2,8

5

0,06

1,6

15

0,02

2,9

6

0,02

IJ

16

0,03

3,1

7

0,01

1,8

17

0,03

3,2

8

0,01

1,9

18

0,02

3,6

9

0,03

2,0

19

0,03

3,8

10

0,02

2,1

20

0,02

3,9

Определим пропускную способность системы массового обслуживания для решения 20 представленных задач.


Оце­ним, какая очередь появится в этой системе — ограниченная или неограниченная.

Если заданная система не в состоянии обслужить указан­ный поток заявок, то ее целесообразно разбить на две системы. В первую систему включим 10 задач (программ решения этих задач), во вторую — оставшиеся 10 задач. По полученным сис­темам определим среднюю длину очереди, среднее время ожидания в очереди и среднее время пребывания заявок в системе.

Решение.

1. Определим пропускную способность заданной системы:

Величина , следовательно, система не в состоянии обслужить поток в 20 задач. В ней будет образовываться воз­растающая неограниченная очередь.

Таблица 10

Схема расчета

Номер задачи

, ч

Номер задачи

, ч

1

1,0

-0,57

0,3249

11

2,5

-0,61

0,3721

2

1,1

-0,47

0,2209

12

2,6

-0,51

0,2601

9

2,0

0,43

0,1849

19

3,8

0,69

0,4761

10

2,1

0,53

0,2809

20

3,9

0,79

0,6241

  1. Распределим задачи по предложенным в условии двум системам и определим их пропускные способности:

Приблизительное равенство пропускных способностей двух систем подтверждает, что с этой точки зрения деление проведено удачно. Кроме того, следовательно, очереди будут конечной длины.

  1. Интенсивность суммарных входящих потоков новых систем по формуле (9), 1/ч составит:

  1. Рассчитаем дисперсии каждой системы. Расчет прове­дем в табл. 10.

 Отсюда

5. Найдем среднюю длину очереди до начала обслужива­ния каждой системы по формуле (8):

6. Определим среднее время пребывания заявки в системе и среднее время ожидания ее в очереди, ч:

Среднее время пребывания в системах можно определить, используя формулу Полячека — Хинчина:

Необходимо заметить, что расчеты по формулам для оп­ределения условного среднего времени ожидания в очереди при учете времени переключения достаточно сложны. По этой причине, они проводятся по разработанным алгоритмам и программам на ЭВМ. Оценка эффективности на основе критериев теории массового обслуживания позволяет выработать рекомендации по существенному улучшению ра­боты ЭВМ и их эксплуатации на ВЦ.