8.1.   Объемное планирование работы механического участка при достижении максимальной загрузки технологического оборудования

Постановка задачи. Имеется m – станков (m – групп станков), на которых могут быть изготовлены n – типов деталей. Трудоемкость обработки j — ой детали на i – м станке составляет , час. Известны фонды времени работы каждого станка (группы станков) – Bi. Исходные данные для решения задачи представлены в таблице 8.1.

Таблица 8.1. Исходные данные для решения задачи, представленные в общем виде

Станки

Трудоемкость при обработке деталей типа

Фонд времени работы оборудования

1

2

n

1

t11

t12

t1n

B1

2

t21

t22

t2n

B2

m

tm1

tm2

tmn

Bm

Требуется определить количество деталей каждого наименования , при обработке которых достигается максимальная загрузка оборудования участка.

Математическая модель для решения задачи запишется:

Ограничения:

Управляемые параметры:

.

Целевая функция:

Задача решается методом линейного программирования (глава 7). При этом следует иметь в виду следующее. Количество ограничений вида (8.1) в математической модели должно строго равняться количеству станков (групп станков) участка. При решении задачи с помощью компьютера количество станков (групп станков), а также типов деталей практически не ограничено и определяется только возможностями компьютера и соответствующей программы. При решении задачи вручную с применением графо-аналитического метода количество типов станков (групп станков) также не ограничено, но их увеличение естественным образом приведет к увеличению времени расчетов. Количество же типов деталей не должно превышать двух, т.к. в противном случае невозможно будет на плоскости выполнить необходимые графические построения.

Пример 1. Исходные данные для примера приведены в таблице 8.2.

Таблица 8.2. Исходные данные для решения задачи

Станки

Трудоемкость обработки, час, деталей типа

Фонд времни работы оборудования, час

D1

D2

Токарные

0,1

0,3

200

Фрезерные

0,5

0,9

700

Сверлильные

0,3

0,2

330

Обозначим через  количество деталей типа D1, через  количество деталей типа D2.

Математическая модель для решения данной задачи запишется следующим образом:

Ограничения (по фонду времени работы оборудования):

Целевая функция (суммарное время работы всех групп оборудования):

   (8.3)

Требуется найти значения  и , удовлетворяющие заданным ограничениям (8.2) и обеспечивающие максимум целевой функции (8.3).


Параметры  и  являются управляемыми параметрами в математической модели.

Решим задачу графо – аналитическим методом (см. раздел 7.2.1.). Графическая иллюстрация решения задачи приведена на рис. 8.1.

Вычисления для построения ограничений (8.2):

x1

0

1000

x2

667

333

x1

0

1000

x2

778

222

x1

500

1000

x2

900

150

Направления допустимости первых трех ограничений (8.2) – «вниз – влево».

Последние два ограничения в системе (8.2) – это оси координат. Направления их допустимости – «вправо» и «вверх».

Рис.8.1 Графическая иллюстрация решения задачи

Для нахождения точки касания границы ОДР прямой линией, определяющей целевую функцию, построим сначала произвольную прямую для целевой функции, приравняв ее выражение к произвольному числу в пределах масштаба построений, например к 1500:

x1

500

1000

x2

750

428

Проведя прямую линию, параллельную данной, находим точку касания ее границы ОДР – это точка А. Для нахождения ее координат решаем следующую систему уравнений:

т.е. окончательно шт., шт.

Максимальное значение целевой функции (максимальная загрузка оборудования участка) при оптимальных значениях искомых параметров составит:

 час

Пример решения задачи в MathCAD представлен на рисунке 8.2.

Рис. 8.2 Решение задачи в MathCAD