8.  АНАЛИТИЧЕСКАЯ  ГЕОМЕТРИЯ  В  ПРОСТРАНСТВЕ

1) Расстояние между двумя точками

 и .

.

2) Уравнение плоскости с нормальным вектором , проходящей через точку  , есть , где - радиус-вектор текущей точки ,  – радиус-вектор точки M0 .

В координатной форме эта плоскость имеет уравнение:

,

или

Ах + Ву + Сz + D =0,                                                       (*)

где  .

3) Расстояние точки  от плоскости (*) равно:

.

4) Векторное уравнение прямой линии в пространстве: ,  где  — текущий радиус-вектор точки прямой,  — направляющий вектор прямой.

В координатной форме уравнение прямой имеет вид:

 — (канонические уравнения).

5)  Прямая линия как пересечение плоскостей задается системой уравнений:

Направляющий вектор  (рис. 8.1).

6) Уравнения прямой в параметрической форме:

x = x0 + mt,  y = y0 + nt,  z = z0 + kt,  .

7) Уравнение плоскости, проходящей через три точки:

,  .

Пример 18. Записать уравнение плоскости, отсекающей по осям координат соответственно отрезки а, b и с.

Решение: используем уравнение плоскости, проходящей через три точки М1(a,0,0), M2(0,b,0) и М(0,0,с):

т.е.  — уравнение плоскости в отрезках.

Пример 19. Записать уравнение плоскости, проходящей через точку М0(2;-3;1) и имеющей нормальный вектор

Решение: Запишем уравнение плоскости, проходящей через данную точку М0  и перпендикулярной данному вектору:

или                                                               4х + 3у — 5z + 6 = 0.

Пример 20. Найти величину отрезков, отсекаемых на осях координатной плоскостью 3х — 4у + 12z – 60 = 0.

Решение: приведём уравнение данной плоскости к уравнению в отрезках:

3х -4у + 12z =60.

.

Ответ: а = 20,  b = -15,  с = 5.

Пример 21. Записать уравнение прямой

и определить направляющие косинусы.

Решение: Имеем , следовательно, направляющий вектор

Найдём , следовательно:

Пример 22. Записать уравнения прямой, проходящей через две несовпадающие точки

М1(x1; y1; z1)  и  М2(x2; y2; z2).

Решение: За направляющий вектор прямой  можно принять

,

тогда уравнение искомой прямой будет:

.

Пример 23. Записать уравнение прямой, проходящей через точку М0(3;-2;6) и параллельной оси Oz.

Решение: Поскольку прямая параллельна оси Oz, то   и  По каноническому уравнению получаем:

,

которые равносильны уравнениям:

,

Следовательно, искомая прямая перпендикулярна осям Ох и Оу.

Пример 24. Записать параметрические и канонические уравнения прямой, проходящей через точку М0(5;-10;6) параллельно вектору

Решение: так как , то канонические уравнения прямой будут:

,

приравняв каждое из отношений параметру  найдём параметрические уравнения:

8) Угол между плоскостями:

 или ,

где  — двугранный угол между плоскостями.

9) Условия параллельности и перпендикулярности плоскостей:

||;

 

10) Угол между двумя прямыми в пространстве

11) Условия параллельности и перпендикулярности прямых:

12) Угол между прямой и плоскостью

13) Взаимное расположение прямой и плоскости:

а) прямая и плоскость пересекаются, если  Am + Bn + ≠ 0;

б) перпендикулярны, если ,

в) параллельны, если , ();

г) совпадают, если , .

Пример 25:  Найти угол между плоскостями 2x-3y-2z+5=0 и 3x-5y+z-3=0.

Решение: Косинус угла  ();

Пример 26: Найти угол между прямой x = -2 — t,  y = 3 — t,  z = -3 + 2t  и плоскостью 4x — 8y + 4z – 18 = 0.

Решение:  Имеем , найдем

Откуда .

Пример 27. Найти проекцию точки M(2;-1;3) на плоскость 3x — 2y + 4z + 15 = 0.

Решение:  Проекция точки на плоскость есть основание перпендикуляра, опущенного из данной точки на плоскость 3x-2y+4z+15=.


Если провести прямую через этот перпендикуляр, то направляющим вектором этой прямой будет вектор , так как он совпадает с нормальным вектором данной плоскости. Следовательно, прямая, проходящая через точку M(2,-1,3) будет:

x = 2 + 3t,   y = -1 — 2t,    z = 3 + 4t.

Подставим эти выражения в уравнения плоскости, будем иметь:

3(2+3t)-2(-1-2t)+4(3+4t)+15=0, 29t=-35, t=35/29.

При этом значении t из уравнения прямой получаем:

.

Следовательно, точка  M*() – искомая проекция.

Поверхности второго порядка

1) Цилиндрические поверхности:

а) с образующими параллельными оси OZ:          F(x,y) = 0;

б) с образующими параллельными оси OX:          F(y,z) = 0;

в) с образующими параллельными оси OY:          F(x,z) = 0.

Пример 28:  Указать, какие поверхности заданы уравнениями:

а) ;

б) ;

в) ;

г) .

Решения:      

а) в уравнении отсутствует явно переменная z, следовательно, имеем цилиндрическую поверхность с образующими параллельными оси OZ, направляющей служит окружность  x2 + y2 = 4 (рис. 8.2, а) – прямой круговой цилиндр;

б) y = x2 – параболический цилиндр, с образующими параллельными оси OZ, y = x2  — направляющая (рис. 8.2, б);

в) x2 / 9 + z2 / 4 = 1 – эллиптический цилиндр, так как направляющая есть эллипс; образующие параллельные оси OY (рис. 8.2, в);

г) x2 - y2 = 4 – гиперболический цилиндр с образующими, параллельными оси OZ (рис. 8.2, г).

2) Поверхности вращения:

а) поверхность, образованная вращением линии l,  x = x(z),  y = y(z) вокруг оси OZ, задается уравнением x2 + y2 = x2(z) + y2(z); 

б) поверхность, образованная вращением линии x = x1(у)z = z1(у)  вокруг оси ОУ, задается уравнением

в) поверхность, образованная вращением линии y = y2(x),  z = z2(x)  вокруг оси ОХ, задается уравнением  .

Пример 29:  Записать уравнения поверхностей вращения, если:

а) линия z = y2 вращается вокруг оси OZ;

б) линия x = y вращается вокруг оси ОУ.

Решение:  а) так как линия z = y2 вращается вокруг оси OZ, то каждая ее точка описывает окружность радиуса   с центром на оси OZ. Следовательно, в уравнении линии надо заменить y на , получим  — параболоид вращения с осью вращения OZ (рис. 8.2, е).

Поверхности второго порядка

1) Уравнение сферы радиуса R с центром в точке С(x0, y0, z0):

 

если x0 = y0 = z0 = 0, то уравнение имеет вид:

2) Уравнение трехосного эллипсоида с полуосями a, b и с:

.

3) Уравнение однополосного гиперболоида:

.

4) Уравнение двухполосного гиперболоида:

.

5) Уравнение конуса второго порядка:

.

6) Эллиптический параболоид:

.

7) Гиперболический параболоид (“седло”):

.

8)  — пара пересекающихся плоскостей.

9)  — пара параллельных плоскостей.

10) Уравнение параболоида вращения вокруг оси OZ:

x2 + y2 = 2pz.

Замечание:  Вид поверхностей, соответствующих приведенным уравнениям, легко получить методом “сечений”.

Рис. 8.2